9.8. Теорема о сумме углов треугольника

Определения и обозначения

Угол треугольника — угол, образованный двумя его сторонами с общей вершиной. У треугольника ABC рассматривают три внутренних угла: при вершинах A, B и C. Каждый из них находится внутри треугольника; эти углы нужны, чтобы описывать его форму и применять теорему.

Сумма углов треугольника — сумма величин трёх его внутренних углов. Например, если углы обозначить α, β и γ, их сумма записывается так: α + β + γ. Это выражение позволяет связать углы между собой, даже если один из них пока неизвестен.

Теорема о сумме углов треугольника утверждает, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Для углов α, β и γ это записывают как α + β + γ = 180°. Зная это равенство, можно находить недостающий угол по двум известным.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних углов. Чтобы его получить, продолжи одну из сторон за вершину: продолженная сторона и соседняя сторона треугольника образуют внешний угол. Он расположен снаружи треугольника и помогает связывать между собой внутренние углы.

Как это устроено

Чтобы доказать теорему, нужно связать углы треугольника с углами, для которых сумма уже известна. Поэтому через одну вершину проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Параллельность здесь полезна не сама по себе: она позволяет перенести углы от двух других вершин к выбранной прямой, не меняя их величин.

Две остальные стороны треугольника пересекают проведённую параллельную прямую и становятся секущими — прямыми, пересекающими пару параллельных прямых. При каждой такой секущей образуются накрест лежащие углы, то есть углы по разные стороны секущей и между параллельными прямыми. Они равны, поэтому углы при двух других вершинах можно представить у проведённой прямой.

Теперь у одной вершины оказываются три угла: перенесённые углы при двух других вершинах и угол самого треугольника в выбранной вершине. Они расположены рядом, по одну сторону от прямой, и вместе образуют развернутый угол. Развернутый угол равен 180°, потому что его стороны направлены в противоположные стороны и образуют прямую.

Поскольку перенесённые углы равны соответствующим углам треугольника, сумма трёх углов у прямой равна сумме всех трёх внутренних углов. А сумма у прямой составляет 180°, значит, и сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство подходит для любого треугольника: у каждого можно выбрать вершину, провести через неё параллельную противоположной стороне и выполнить те же рассуждения.

Из теоремы следует свойство внешнего угла. Внешний и внутренний углы при одной вершине смежные, поэтому вместе равны 180°. В то же время 180° составляют и три внутренних угла треугольника; если из этой суммы убрать внутренний угол, смежный с внешним, останется сумма двух других внутренних углов. Следовательно, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема о сумме углов и её следствия

Сначала определите, какие именно углы даны: внутренние они или внешний, смежны ли они. Затем выберите нужную связь из таблицы и подставьте известные величины. Если неизвестных несколько, используйте соотношения по очереди.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике два угла равны 48° и 73°. Найдите третий угол. Сначала нужно определить, сколько градусов остаётся на третий угол после того, как учтены два известных. Углы треугольника вместе составляют 180°, поэтому из этой величины вычитают сумму известных углов.

1. Сложим известные углы: 48° + 73° = 121°.
2. Вычтем полученную сумму из 180°: 180° − 121° = 59°.

Ответ: третий угол равен 59°. Проверка: 48° + 73° + 59° = 180°, значит, найденная величина подходит.

Задача 2

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36°. Найдите углы при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому сначала найдём их общую сумму. Затем разделим её поровну между двумя равными углами.

1. Найдём сумму углов при основании: 180° − 36° = 144°.
2. Разделим сумму на два равных угла: 144° : 2 = 72°.

Ответ: углы при основании равны 72° и 72°. Проверка: 36° + 72° + 72° = 180°, а углы при основании действительно равны.

Задача 3

Внешний угол треугольника равен 124°, один из внутренних углов, не смежных с ним, равен 51°. Найдите остальные внутренние углы. Сначала используем свойство внешнего угла, чтобы найти второй несмежный внутренний угол. Затем найдём внутренний угол при той же вершине, что и внешний: эти два угла смежные.

1. Вычтем известный несмежный угол из внешнего: 124° − 51° = 73°. Так найден второй несмежный внутренний угол.
2. Вычтем внешний угол из 180°: 180° − 124° = 56°. Это внутренний угол, смежный с внешним.

Ответ: остальные внутренние углы равны 73° и 56°. Проверка: 51° + 73° + 56° = 180°, а внешний угол 124° равен 51° + 73°.

Типичные ошибки

Считать, что сумма углов треугольника равна 360°. Такую величину часто вспоминают по сумме углов вокруг точки, но углы треугольника вместе образуют не полный оборот, а развернутый угол. Проверьте, к какой фигуре относятся углы: у треугольника сумма равна 180°.

При поиске третьего угла складывать известные углы с 180°. Ошибка появляется, если забыть, что все три угла вместе уже дают 180°. Сначала сложите известные углы, а затем вычтите их сумму из 180°; проверка — сумма трёх ответов должна равняться 180°.

Приравнивать внешний угол одному несмежному внутреннему углу. Это может показаться верным, если перепутать положение углов или применить не то свойство. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним; подставьте оба и проверьте равенство.

Называть внешним угол, не смежный с внутренним углом треугольника. Внешний угол получают продолжением одной стороны за вершину, и он образует пару смежных углов с внутренним углом при этой вершине. Проверьте, есть ли у пары общая сторона, а две другие стороны продолжают друг друга по одной прямой.

Связь с другими темами

Для изучения теоремы нужны понятия треугольника, внутреннего и смежного угла, а также развернутого угла. В доказательстве используются свойства углов при параллельных прямых: именно они позволяют перенести углы к проведённой прямой.

Теорема помогает находить неизвестные углы по известным величинам. Она также пригодится при доказательстве свойств равнобедренных треугольников, где важно учитывать равенство углов при основании.

Дальше соотношения углов используют при изучении многоугольников и решении задач на углы. Умение находить недостающий угол в треугольнике становится частью решения более сложных геометрических задач.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Третий угол треугольника равен 180° минус сумма двух остальных.
• Внешний угол треугольника смежен с внутренним углом при той же вершине.
• Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Сумма внутреннего и смежного с ним внешнего углов равна 180°.
• В равнобедренном треугольнике равные углы при основании можно найти, разделив остаток после вычитания угла при вершине пополам.