"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Углы помогают находить неизвестные величины и доказывать свойства фигур. Внутренние углы треугольника вместе составляют 180°, а внешний угол связан с двумя внутренними углами, не соседними с ним. Для выпуклого многоугольника сумму углов можно найти, разбив его на треугольники. Если многоугольник правильный, то все его углы равны, поэтому по сумме легко вычислить каждый. Отдельное свойство связывает внешние углы многоугольника с полным оборотом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внутренний угол многоугольника — угол, образованный двумя его сторонами и лежащий внутри фигуры. У треугольника внутренними называют три угла при его вершинах: каждый образован парой сторон, сходящихся в этой вершине. Такие углы обозначают, например, α, β и γ. Это обозначение помогает записывать свойства и находить неизвестные величины.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его внутренних углов. Его получают, продолжив одну из сторон за вершину треугольника. Поэтому внешний угол расположен снаружи фигуры, но имеет общую вершину и сторону со смежным внутренним углом. Это определение помогает не путать внешний угол с двумя внутренними углами, которые не примыкают к нему.
Сумма внутренних углов треугольника — величина, равная 180°. Если углы треугольника обозначены α, β и γ, то α + β + γ = 180°. Из этой записи сразу следует способ найти угол, когда известны два остальных. Свойство действует для любого треугольника, независимо от длины его сторон.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это не определение внешнего угла, а его свойство: определение описывает, как получить угол продолжением стороны. Например, если внешний угол смежен с углом α, то он равен β + γ. Свойство позволяет находить неизвестный угол без отдельного вычисления смежного внутреннего угла.
Чтобы объяснить сумму углов треугольника, через одну его вершину проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Две стороны треугольника пересекают эту прямую, поэтому возникают пары накрест лежащих углов; при параллельных прямых в каждой паре углы равны. Эти углы соответствуют двум углам треугольника, а третий уже расположен у вершины на проведённой прямой. Все три вместе составляют развёрнутый угол, значит, их сумма равна 180°.
Рассмотрим внешний угол, смежный с внутренним углом α. Они образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Внутренние углы треугольника β и γ вместе с α тоже дают 180°. Если из обеих сумм вычесть α, останется равенство: внешний угол равен β + γ. Значит, он складывается именно из двух внутренних углов, которые не имеют с ним общей стороны.
У выпуклого многоугольника из одной вершины можно провести диагонали к вершинам, которые не являются соседними. Они делят фигуру на треугольники без наложений и промежутков. Если сторон n, то получится n − 2 треугольника: например, у четырёхугольника их два, у пятиугольника — три, и при добавлении стороны число треугольников увеличивается на один. Поскольку на каждый треугольник приходится 180°, сумма углов равна (n − 2) · 180°.
У правильного многоугольника все стороны и все внутренние углы равны. Если сумма внутренних углов уже найдена, её можно разделить поровну между n углами: каждый равен ((n − 2) · 180°) / n. Для обычного многоугольника этот приём не работает, потому что его углы могут различаться. Равенство суммы числу углов, делённому на общее число вершин, даёт величину каждого угла только в правильном многоугольнике.
Внешний угол при вершине показывает, на сколько поворачивается направление движения, когда обходишь многоугольник и переходишь с одной стороны на следующую. После полного обхода выпуклой фигуры направление возвращается к исходному, то есть совершается полный оборот в 360°. Поэтому, если взять по одному внешнему углу при каждой вершине, их сумма будет равна 360°. Направление обхода влияет на сторону поворота, но не на величину полного оборота.
| Фигура или угол | Свойство | Формула или результат |
|---|---|---|
| Внутренние углы треугольника — сумма | Сумма трёх внутренних углов одинакова для любого треугольника | 180° |
| Внешний угол треугольника — связь с несмежными внутренними углами | Равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним | Внешний угол = β + γ |
| Внутренние углы выпуклого n-угольника — сумма | Фигуру можно разбить на n − 2 треугольника | (n − 2) · 180° |
| Каждый внутренний угол правильного n-угольника | Все углы правильного многоугольника равны | ((n − 2) · 180°) / n |
| Внешние углы выпуклого многоугольника — сумма | Берут по одному внешнему углу при каждой вершине | 360° |
Сначала определите, о какой фигуре и каких углах говорится, затем выберите подходящую строку таблицы. Для правильного многоугольника проверьте, что все его углы равны; для обычного по одной только сумме нельзя узнать каждый угол. В задаче о внешнем угле треугольника установите, какой внутренний угол с ним смежен.
В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий угол. Сначала используем сумму углов треугольника, а затем вычтем из неё известные углы. Проверка сложением подтвердит, что получена нужная величина.
Ответ: 65°. Проверка: 48° + 67° + 65° = 180°.
Внешний угол треугольника равен 125°, один из двух несмежных с ним внутренних углов — 54°. Найдите второй. Внешний угол равен сумме именно двух внутренних углов, которые с ним не смежны. Поэтому достаточно вычесть известный из их общей суммы.
Ответ: 71°. Полученный угол меньше внешнего, что согласуется с тем, что внешний угол равен сумме двух положительных углов.
Найдите каждый внутренний угол правильного многоугольника, если сумма его внутренних углов равна 1260°. Нужно сначала выяснить, сколько у фигуры сторон, а затем разделить сумму на число углов. Такой порядок важен: делить сумму поровну можно потому, что многоугольник правильный.
Ответ: 140°. Проверка: формула для девятиугольника даёт (9 − 2) · 180° = 1260°, а девять углов по 140° составляют эту сумму.
При нахождении неизвестного угла треугольника иногда складывают известные углы и принимают сумму за ответ. Так происходит, если забыть, что все три угла вместе дают 180°. Проверьте себя: сложите найденный и известные углы — результат должен быть ровно 180°.
Внешний угол могут перепутать с одним из несмежных внутренних углов. Внешний угол получают продолжением стороны, и он смежен с одним внутренним; равен же он сумме двух других. Чтобы проверить выбор, сначала отметьте угол, который образует с внешним развёрнутый угол, и только затем используйте свойство суммы.
В формуле суммы углов n-угольника иногда считают, что диагонали из вершины дают n треугольников. Но треугольники возникают только между проведёнными диагоналями и сторонами, а число частей составляет n − 2. Проверьте формулу на четырёхугольнике: из одной вершины проводится одна диагональ, и получаются два треугольника, а не четыре.
Сумму углов многоугольника не всегда можно разделить на число сторон, чтобы найти каждый угол. Такое деление предполагает, что все углы одинаковы, а это верно у правильного многоугольника. Перед вычислением проверьте условие: если фигура не названа правильной и равенство углов не дано, известна только сумма, но не величина каждого угла.
Для доказательства суммы углов треугольника нужны свойства параллельных прямых и накрест лежащих углов. Также пригодится свойство смежных углов: вместе они образуют развёрнутый угол в 180°. Эти знания связывают расположение прямых с вычислением величин углов.
Свойства углов помогают находить неизвестные величины и доказывать геометрические утверждения о треугольниках и многоугольниках. Например, по двум углам треугольника можно вычислить третий, а внешний угол позволяет выразить одну величину через две другие. Такие рассуждения используют в задачах на построение и доказательство.
Формула суммы углов многоугольника особенно полезна при изучении правильных многоугольников. Зная число сторон, можно найти сумму, а для правильной фигуры — и каждый угол. Обратная задача тоже возможна: по сумме углов сначала определить число сторон.
Почему сумма углов треугольника всегда равна 180°?
Через вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Два угла при этой прямой равны двум углам треугольника как накрест лежащие, а вместе с третьим образуют развёрнутый угол в 180°.
Как отличить внешний угол треугольника от внутреннего?
Внутренний угол находится внутри треугольника и образован двумя его сторонами. Внешний угол смежен с одним из внутренних: его получают, продолжив одну сторону за вершину.
Почему внешний угол равен сумме двух несмежных с ним углов?
Внешний угол и смежный с ним внутренний вместе дают 180°. Все три внутренних угла треугольника тоже составляют 180°, поэтому, если вычесть общий смежный угол, внешний окажется равен сумме двух остальных.
Как вывести формулу суммы углов многоугольника?
Из одной вершины выпуклого n-угольника проводят диагонали к несоседним вершинам. Фигура разбивается на n − 2 треугольника, каждый с суммой углов 180°, поэтому сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°.
Можно ли найти каждый угол многоугольника, зная только сумму его углов?
Не всегда: у обычного многоугольника углы могут быть разными, даже если их сумма известна. Если многоугольник правильный, все его углы равны, и сумму можно разделить на число углов.
9.9. Свойства углов треугольников и многоугольников
