"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Неевклидова геометрия показывает, что привычные правила о прямых и треугольниках зависят от исходных аксиом. Если изменить аксиому параллельных, можно построить другую математическую систему, которая не противоречит сама себе. В геометрии Лобачевского через точку вне прямой проходит несколько непересекающих её прямых, а на сфере прямыми считают большие окружности. Поэтому сумма углов треугольника бывает не только 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неевклидова геометрия — геометрия, в которой изменено одно из основных предположений евклидовой геометрии, например аксиома параллельных. Это не набор ошибок, а отдельная система правил. Такое понятие нужно, чтобы изучать, как исходные предположения влияют на свойства фигур.
Аксиома параллельных — утверждение о том, сколько прямых через точку вне данной прямой не пересекают её. Это исходное правило принимают без доказательства. Оно помогает отличить разные геометрии друг от друга.
Геометрия Лобачевского — неевклидова геометрия, в которой через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную. Иными словами, здесь не действует евклидово правило об одной такой прямой. Это определение нужно для сравнения свойств прямых и треугольников.
Сферическая геометрия — геометрия на сфере, где роль прямых играют большие окружности. Большая окружность делит сферу на две равные полусферы. Эта модель нужна для описания расстояний и фигур на искривлённой поверхности.
Геометрия начинается с аксиом — исходных утверждений, которые принимают без доказательства, а затем с помощью рассуждений выводят другие свойства. Аксиомы работают как правила игры: если договориться о других правилах, изменятся и некоторые выводы. Поэтому замена одной аксиомы не обязательно приводит к противоречию. Так можно получить другую стройную геометрию, а не «неправильный» вариант привычной.
В евклидовой геометрии через точку вне прямой можно провести ровно одну прямую, которая не пересечёт данную. Это правило и есть привычный вариант аксиомы параллельных. В геометрии Лобачевского таких прямых больше одной, потому что там принято другое исходное предположение. На сфере картина иная: большие окружности пересекаются, поэтому через точку вне выбранной большой окружности нельзя провести большую окружность, которая совсем её не пересечёт.
Почему на сфере прямыми считают именно большие окружности? Прямая на плоскости задаёт путь без поворота, а на сфере соответствующую роль играет кратчайший путь по поверхности. Для двух точек, которые не являются противоположными концами одного диаметра, такой путь идёт по дуге большой окружности. Малые окружности, например параллели на глобусе, обычно не дают кратчайшего пути между своими точками, поэтому они не подходят на роль прямых.
Сумма углов треугольника тоже зависит от выбранной геометрии. На плоскости евклидовой геометрии она равна 180°, потому что углы можно связать с развернутым углом с помощью параллельных прямых. В геометрии Лобачевского сумма оказывается меньше 180°, а на сфере — больше. Например, сферический треугольник может иметь три прямых угла, и их сумма будет 270°.
Из этого следует, что привычные свойства фигур не являются обязательными для всех геометрий. Например, нельзя считать равенство суммы углов 180° правилом для любого треугольника, не уточнив, где он построен. Геометрия описывает пространство через принятые аксиомы, поэтому при другой модели некоторые знакомые утверждения меняются. Перед решением задачи полезно проверить, какая геометрия задана.
| Свойство | Евклидова геометрия | Геометрия Лобачевского | Сферическая геометрия |
|---|---|---|---|
| Прямые через точку вне данной, не пересекающие данную | Одна | Более одной | Ни одной среди больших окружностей |
| Сумма углов треугольника | 180° | Меньше 180° | Больше 180° |
| Аналог прямой | Прямая | Прямая в геометрии Лобачевского | Большая окружность |
Сравнивайте геометрии по строкам: так видно, какое свойство меняется при переходе от одной системы к другой. В строке о непересекающихся прямых для сферической геометрии рассматриваются именно большие окружности, а не произвольные линии на сфере. Таблица помогает не переносить свойства евклидовой геометрии на другие модели автоматически.
Задача 1. На плоскости через точку, не лежащую на прямой, проведена прямая, не пересекающая данную. Определите, сколько таких прямых допускает евклидова геометрия.
Сначала определим, какая геометрия указана в условии. Это евклидова геометрия, значит, применяем её аксиому параллельных.
Аксиома говорит, что через точку вне данной прямой проходит ровно одна прямая, не пересекающая данную. Не нужно считать все возможные прямые через точку, а только те, которые не пересекают заданную.
Ответ: одна прямая.
Задача 2. Сравните, сколько прямых через точку вне данной прямой не пересекают её в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
Запишем число для евклидовой геометрии: согласно её аксиоме параллельных, такая прямая ровно одна. Это отправная точка для сравнения.
Теперь используем правило геометрии Лобачевского: через внешнюю точку проходит более одной прямой, не пересекающей данную. Следовательно, число таких прямых там больше, чем в евклидовой геометрии.
Ответ: в евклидовой геометрии одна, в геометрии Лобачевского — более одной.
Задача 3. Треугольник построен на сфере по дугам больших окружностей. Его углы равны 90°, 60° и 50°. Противоречит ли это геометрии и какую геометрию описывает пример?
Сложим углы: 90° + 60° + 50° = 200°. Полученная сумма больше 180°.
В евклидовой геометрии такое невозможно, но условие говорит о сфере, где треугольник строят по дугам больших окружностей. Для сферической геометрии сумма углов больше 180° допустима, поэтому противоречия нет.
Ответ: пример описывает сферическую геометрию и не противоречит ей.
Считать неевклидовую геометрию системой с ошибочными правилами — неверно. Так думают, потому что сравнивают её с привычной геометрией и принимают знакомые свойства за единственно возможные. Проверка простая: выясните, какие аксиомы приняты; если система последовательно построена на других аксиомах, это другая геометрия, а не ошибка.
Путать аксиому параллельных с определением параллельных прямых тоже не следует. Определение говорит о том, что такое параллельные прямые, а аксиома отвечает на вопрос, сколько прямых через внешнюю точку не пересекают данную. Чтобы проверить себя, найдите в формулировке именно число таких прямых.
Иногда утверждают, что в геометрии Лобачевского через внешнюю точку проходит ровно одна непересекающая прямая. Это утверждение переносят из евклидовой геометрии, где оно верно. Сверьте его с аксиомой Лобачевского: таких прямых больше одной.
Ещё одна ошибка — считать, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Это правило относится к евклидовой геометрии, но на сфере сумма больше, а в геометрии Лобачевского меньше. Перед проверкой суммы углов уточните, где построен треугольник и какие аксиомы используются.
Для этой темы пригодятся понятия аксиомы, прямой и параллельных прямых, а также правило о сумме углов треугольника. Если эти слова знакомы, будет проще увидеть, какое именно предположение изменено. Неевклидовы геометрии показывают, что свойства евклидовых фигур зависят от выбранных аксиом и связаны с математическими моделями пространства. Сферическая геометрия полезна в географии: она помогает описывать расстояния и маршруты по поверхности Земли.
Почему геометрию Лобачевского называют неевклидовой?
В ней иначе сформулировано исходное правило о прямых, которые не пересекают данную. Через точку вне прямой проходит более одной такой прямой, а не ровно одна, как в евклидовой геометрии.
Что именно меняется в аксиоме параллельных?
Меняется ответ на вопрос, сколько прямых через точку вне данной прямой не пересекают её. В евклидовой геометрии такая прямая одна, а в геометрии Лобачевского их больше одной.
Как на сфере можно провести прямую?
На сфере роль прямых выполняют большие окружности — окружности, полученные сечением сферы плоскостью через её центр. По дуге такой окружности проходит кратчайший путь между точками, если они не противоположны.
Может ли сумма углов треугольника быть не равна 180°?
Да. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°, а в сферической геометрии — больше 180°. Равенство 180° относится к евклидовой геометрии.
Какая геометрия описывает поверхность Земли?
Для измерений по поверхности Земли используют идеи сферической геометрии, приближённо представляя Землю сферой. На больших расстояниях важно учитывать, что кратчайшие пути на такой поверхности идут по дугам больших окружностей.
9.10. Неевклидова геометрия
