"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Его стороны, углы и диагонали связаны простыми свойствами: противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, а диагонали делятся пополам в точке пересечения. Эти правила помогают находить неизвестные величины и доказывать равенство отрезков и углов. Параллелограммы встречаются в геометрических чертежах и служат основой для изучения прямоугольника, ромба и квадрата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если вершины записаны по порядку ABCD, то стороны AB и CD параллельны, как и BC и AD: пишут AB ∥ CD и BC ∥ AD. Такое обозначение показывает, какие именно прямые не пересекаются.
Противоположные стороны и вершины четырёхугольника не имеют общей вершины. В ABCD стороны AB и CD — противоположные, так же как BC и AD; противоположные вершины — A и C, B и D. На чертеже удобно проверять это по вершинам: у противоположных элементов нет общей точки.
Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. В ABCD это AC и BD; буквы в обозначении называют концы отрезка. Диагонали проводят внутри четырёхугольника, и их пересечение помогает изучать части этих отрезков.
Противоположные углы находятся при противоположных вершинах: в ABCD это углы A и C, а также B и D. Соседние углы, например A и B, имеют общую сторону AB и одну общую вершину. Различать эти пары нужно, потому что противоположные углы равны, а соседние дают в сумме 180°.
Проведём диагональ AC параллелограмма ABCD. Она разделит фигуру на треугольники ABC и CDA, у которых есть общая сторона AC. Поскольку AB ∥ CD, диагональ AC пересекает эти прямые, а углы BAC и ACD равны как накрест лежащие; по той же причине равны углы BCA и CAD. Значит, треугольники равны по стороне AC и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = CD и BC = AD. Диагональ AC служит общей стороной, а две пары углов при её концах равны из-за параллельности противоположных сторон. Поэтому у равных треугольников совпадают соответствующие стороны, а не только углы. Так доказывается свойство противоположных сторон.
Из тех же равных треугольников следует, что противоположные углы параллелограмма равны: ∠A = ∠C. Для соседних углов можно использовать прямую AB и параллельные ей CD: внутренние односторонние углы при секущей AD составляют 180°. Поэтому ∠A + ∠D = 180°; так же сумма каждой другой пары соседних углов равна 180°. Это объясняет, почему соседние углы не обязаны быть равными.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOB и COD: углы BAO и DCO равны как накрест лежащие при AB ∥ CD, а углы ABO и CDO равны при BC ∥ AD. Стороны AB и CD равны по уже доказанному свойству, поэтому треугольники равны. Отсюда AO = OC и BO = OD: точка O — середина каждой диагонали.
В задаче сначала определите, какие элементы нужно найти: стороны, углы или части диагоналей. Для противоположных сторон и углов используйте равенство, для соседних углов — сумму 180°, а для частей диагоналей — равенство отрезков по разные стороны от точки пересечения. Если встречаются две пересекающиеся прямые, проверьте, не являются ли нужные углы вертикальными: они равны. Такой выбор свойства превращает рисунок в короткие вычисления.
| Что рассматриваем | Свойство | Как использовать |
|---|---|---|
| Противоположные стороны | Они параллельны и равны. | Найти неизвестную сторону по длине противоположной. |
| Противоположные углы | Они равны. | Перенести известную величину угла на противоположный. |
| Соседние углы | Их сумма равна 180°. | Вычесть известный угол из 180°. |
| Диагонали и точка их пересечения | Точка пересечения делит каждую диагональ пополам. | Приравнять две части одной диагонали. |
Сначала найдите на чертеже нужную пару элементов и убедитесь, что она противоположная или соседняя. Затем выберите соответствующее свойство из таблицы и составьте равенство или сумму. Не переносите правило одной строки на другую: например, соседние углы не равны обязательно, а дополняют друг друга до 180°.
В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и AD параллельны. Определите, является ли ABCD параллелограммом. Здесь требуется проверить условие определения, а не искать дополнительные свойства фигуры.
Ответ: ABCD является параллелограммом.
В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см, а сторона BC — 4 см. Найдите длины CD и AD. Нужно сопоставить каждую известную сторону с противоположной, а не с соседней.
Ответ: CD = 7 см, AD = 4 см.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Если AO = 5 см, BO = 3 см, а угол AOD равен 68°, найдите OC, OD и угол BOC. Здесь нужны два свойства: диагонали делятся пополам, а вертикальные углы равны.
Ответ: OC = 5 см, OD = 3 см, ∠BOC = 68°.
Ошибка: считать параллелограммом любой четырёхугольник с одной парой параллельных сторон. Так бывает, если определение вспоминают не полностью или принимают отдельный признак за определение. Проверьте обе пары противоположных сторон: должны выполняться и AB ∥ CD, и BC ∥ AD.
Ошибка: путать противоположные и соседние стороны или углы. На схеме близкие элементы могут казаться «парой», хотя у них есть общая вершина; проверьте концы отрезков или вершины углов. Противоположные элементы не имеют общей вершины, а соседние имеют общую сторону или вершину.
Ошибка: утверждать, что диагонали параллелограмма равны. Это свойство не следует из определения: диагонали делятся пополам, но могут иметь разную длину. Чтобы проверить себя, обозначьте части каждой диагонали отдельно: верно AO = OC и BO = OD, но из этого не следует AC = BD.
Ошибка: приравнивать соседние углы. Такое рассуждение возникает из-за смешения их свойства со свойством противоположных углов. Для соседних углов запишите сумму 180° и найдите неизвестный вычитанием; равными без дополнительных условий являются противоположные углы.
Для работы с параллелограммами нужно знать, что такое четырёхугольник, как обозначают параллельность прямых и какие углы называют накрест лежащими. Равенство треугольников помогает доказать равенство противоположных сторон и деление диагоналей пополам. Позже эти свойства пригодятся при изучении прямоугольника, ромба и квадрата — частных видов параллелограмма. Они также используются в задачах на доказательство и вычисление.
Как по определению понять, что четырёхугольник — параллелограмм?
Проверьте, параллельны ли обе пары его противоположных сторон. Если AB ∥ CD и BC ∥ AD, то ABCD — параллелограмм. Одной пары параллельных сторон недостаточно.
Какие стороны параллелограмма называют противоположными?
Это стороны, у которых нет общей вершины. В параллелограмме ABCD противоположные пары — AB и CD, а также BC и AD.
Почему противоположные стороны параллелограмма равны?
Проведённая диагональ образует два треугольника. Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, которые равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Соответствующие стороны этих треугольников равны.
Что происходит с диагоналями параллелограмма в точке пересечения?
Точка пересечения делит каждую диагональ на две равные части. Если диагонали AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD.
Обязательно ли диагонали параллелограмма равны?
Нет, диагонали не обязательно равны. Общее свойство состоит в том, что они делятся пополам в точке пересечения. Равенство диагоналей бывает у некоторых частных видов параллелограмма, например у прямоугольника.
10.1. Параллелограммы
