10.2. Центр симметрии параллелограмма

Определения и обозначения

Центральная симметрия — преобразование, при котором точка переходит в точку на той же прямой, по другую сторону от центра и на таком же расстоянии от него. Например, если точка A переходит в A′ относительно центра O, то O — середина отрезка AA′. Это правило позволяет точно определить, какая точка соответствует данной.

Симметричные точки — две точки, для которых центр симметрии является серединой соединяющего их отрезка. Поэтому расстояния от центра до этих точек равны, а сами точки лежат на одной прямой с центром. Это понятие нужно, чтобы проверять соответствие точек при преобразовании.

Центр симметрии параллелограмма — точка, относительно которой параллелограмм при центральной симметрии переходит в себя. Иными словами, после такого преобразования каждая его точка оказывается на месте другой точки той же фигуры. Определение помогает отличить центр симметрии от просто выбранной точки внутри параллелограмма.

Центр параллелограмма — точка пересечения его диагоналей; она является центром симметрии параллелограмма. В дальнейшем для параллелограмма ABCD обозначим эту точку буквой O. Такое обозначение удобно: сразу видно, что O лежит на диагоналях AC и BD.

Как это устроено

У параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам. Если диагонали AC и BD пересекаются в O, то O — середина AC и середина BD. Поэтому OA = OC и OB = OD: точка O равноудалена от каждой пары противоположных вершин. Именно это условие требуется, чтобы противоположные вершины были симметричны относительно O.

При симметрии относительно O вершина A переходит в C, поскольку O лежит на AC и находится на одинаковом расстоянии от A и C. Точно так же B переходит в D. Значит, каждая вершина оказывается на месте противоположной вершины, а все четыре вершины после преобразования остаются вершинами того же параллелограмма. Здесь используется определение центральной симметрии, а не просто расположение точек по разные стороны от O.

Рассмотрим стороны. Преобразование переводит отрезок в отрезок: образами его концов становятся образы исходных точек. Поэтому сторона AB, соединяющая A и B, переходит в CD, соединяющую C и D; BC переходит в DA. Эти стороны действительно противоположные: в параллелограмме они параллельны и равны. При симметрии сохраняются расстояния и направление поворота на 180°, так что каждая сторона совмещается со своей парой.

Диагонали также не исчезают при преобразовании: AC переходит в ту же диагональ AC, поскольку её концы меняются местами; BD по той же причине переходит в BD. Точка O остаётся на месте, ведь она является центром симметрии. Так преобразуются не только вершины, но и отрезки, из которых состоит фигура, а значит, все её точки совмещаются с точками исходного параллелограмма.

Следовательно, параллелограмм переходит в себя при центральной симметрии относительно O. Можно рассуждать и в обратную сторону. Если у параллелограмма есть центр симметрии, то при преобразовании его вершины должны переходить в противоположные: центральная симметрия сохраняет порядок расположения точек и меняет направление на противоположное. Центр тогда является серединой отрезков AC и BD, то есть совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Соответствие элементов параллелограмма при центральной симметрии

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите центр симметрии — точку пересечения диагоналей. Затем замените каждую вершину на противоположную и по новым концам определите образ стороны или диагонали. Помните: неизменность длины не означает, что отрезок обязательно остаётся на прежнем месте.

Разбор задач

Задача 1. Дан параллелограмм ABCD. Назовите его центр симметрии и укажите, во что переходят вершины A и B.
Решение.

1. Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD буквой O. У параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам.
2. Значит, O — середина AC и BD. По определению центральной симметрии относительно O точка A переходит в C, а B — в D.
3. Проверяем соответствие: C противоположна A, D противоположна B. Соседние вершины вместо них не подходят, потому что O не является серединой отрезка между соседними вершинами.

Ответ: центр симметрии — O; A переходит в C, B — в D.

Задача 2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что при симметрии относительно O сторона AB переходит в сторону CD.
Решение.

1. Поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам, O — середина AC и BD. Следовательно, при симметрии относительно O точка A переходит в C, а B — в D.
2. Отрезок AB состоит из точек, лежащих между его концами. При центральной симметрии его концы переходят в C и D, поэтому образом AB будет отрезок CD.
3. Сверяем результат с обозначениями параллелограмма: C и D — концы противоположной стороне AB. Значит, получен нужный образ, а не соседняя сторона.

Ответ: сторона AB переходит в сторону CD.

Задача 3. Докажите, что если точка O является центром симметрии параллелограмма ABCD, то она совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
Решение.

1. При центральной симметрии относительно O противоположные вершины параллелограмма переходят друг в друга: A — в C, B — в D. Поэтому по определению симметричных точек O — середина AC и середина BD.
2. Диагонали AC и BD проходят через свои середины, значит, обе проходят через O. Следовательно, O принадлежит обеим диагоналям.
3. Точка, принадлежащая обеим диагоналям, является точкой их пересечения. Поэтому O совпадает с точкой пересечения AC и BD.

Ответ: O — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Типичные ошибки

Ошибка: считать центром симметрии любую точку внутри параллелограмма. Так думают, потому что центр кажется просто точкой между вершинами. Но для центра симметрии он должен быть серединой отрезков между каждой точкой и её образом. Проверьте, делит ли выбранная точка обе диагонали пополам.

Ошибка: переводить вершину в соседнюю. Соседние вершины соединены стороной, а центр симметрии должен быть серединой отрезка между соответствующими точками. Проверьте, лежат ли исходная вершина, центр и предполагаемый образ на одной прямой; для A её образом будет C, а не B или D.

Ошибка: считать точку пересечения диагоналей центром симметрии любого четырёхугольника. Это свойство опирается на то, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам; у произвольного четырёхугольника этого может не быть. Перед выводом проверьте, что дан именно параллелограмм и что его диагонали делятся пополам.

Ошибка: доказывать симметрию только по одной паре вершин. Совпадение, например, A и C ещё не объясняет, куда переходят остальные точки фигуры. Проверьте обе диагонали: нужно обосновать переходы обеих пар противоположных вершин и соответствующих сторон. Тогда будет ясно, что весь параллелограмм, а не только часть, совмещается с собой.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся определение параллелограмма и свойство его диагоналей: они точкой пересечения делятся пополам. Нужно уметь находить середину отрезка и применять определение центральной симметрии. Дальше это знание поможет изучать симметрию других фигур, свойства четырёхугольников и преобразования плоскости. Один и тот же приём — проверка середин отрезков — связывает геометрические свойства с движением фигур.

Что запомнить

• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма.
• При этой симметрии противоположные вершины переходят друг в друга.
• Противоположные стороны параллелограмма переходят друг в друга.
• Центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего любую точку фигуры с её образом.
• Центральная симметрия относительно центра параллелограмма переводит фигуру в себя.