"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Параллелограмм можно узнать не только по его определению, но и по особым условиям — признакам. Если противоположные стороны попарно равны, одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна или диагонали делятся точкой пересечения пополам, четырёхугольник является параллелограммом. В доказательствах часто проводят диагональ, сравнивают получившиеся треугольники и с их помощью обосновывают параллельность сторон.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Признак параллелограмма — условие, по которому устанавливают, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Это понятие нужно, когда фигуру ещё не назвали параллелограммом, но требуется доказать её вид по известным данным. Признак связывает наблюдаемые свойства сторон или диагоналей с выводом о всей фигуре.
Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом. Например, для ABCD условие записывают так: AB = CD и BC = AD. Этот признак помогает обойтись без прямого доказательства параллельности обеих пар сторон: её можно получить через равенство треугольников.
Если две противоположные стороны четырёхугольника параллельны и равны, то он является параллелограммом. Для сторон AB и CD это означает AB ∥ CD и AB = CD. Такое условие полезно, когда об одной паре сторон уже известны и направление, и длина, а остаётся доказать, что параллельна также другая пара.
Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. Если AC и BD пересекаются в O, нужно иметь AO = OC и BO = OD. Этот признак позволяет сделать вывод о виде четырёхугольника по расположению и длинам частей его диагоналей.
Чтобы понять, почему диагональ помогает в доказательстве, проведём в ABCD диагональ AC. Она делит четырёхугольник на треугольники ABC и CDA, а отрезок AC становится их общей стороной. Если получится доказать равенство этих треугольников, то равными окажутся и соответствующие углы. По равенству накрест лежащих углов можно установить, что противоположные стороны параллельны.
Пусть AB = CD и BC = AD. После проведения AC у треугольников ABC и CDA равны три пары сторон: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам. Из равенства соответствующих углов следует, что AB ∥ CD и BC ∥ AD; обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.
Теперь рассмотрим одну пару сторон: AB = CD и AB ∥ CD. Проведём AC и сравним треугольники ABC и CDA. Сторона AB равна CD, AC общая, а углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними; из равенства углов при диагонали получаем BC ∥ AD, и четырёхугольник становится параллелограммом.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. У треугольников AOB и COD равны две пары сторон, а углы AOB и COD равны как вертикальные; значит, треугольники равны. Равенство накрест лежащих углов при секущей BD даёт AB ∥ CD; аналогичное сравнение треугольников AOD и COB позволяет получить AD ∥ BC. Так доказывают параллельность обеих пар противоположных сторон.
Каждый признак ведёт к выводу о фигуре, а не просто описывает уже известный параллелограмм. Поэтому в доказательстве нужно сначала назвать подходящее условие, а затем проверить его целиком. Если условие включает два факта, например равенство и параллельность сторон, одного из них недостаточно.
В таблице собраны три условия, по которым можно доказать, что четырёхугольник — параллелограмм. Сверяй условие задачи с первым столбцом и выбирай соответствующую строку. В последнем столбце указано, на какую идею удобно опереться в доказательстве.
| Условие | Что доказываем | Основная идея доказательства |
|---|---|---|
| Противоположные стороны попарно равны | Четырёхугольник является параллелограммом | Провести диагональ, доказать равенство треугольников по трём сторонам и получить параллельность сторон |
| Одна пара противоположных сторон равна и параллельна | Четырёхугольник является параллелограммом | Провести диагональ; использовать равенство накрест лежащих углов и равенство треугольников |
| Диагонали точкой пересечения делятся пополам | Четырёхугольник является параллелограммом | Сравнить треугольники по двум сторонам и вертикальному углу, затем доказать параллельность сторон |
Задача 1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, а стороны BC и AD равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Ответ: ABCD — параллелограмм.
Задача 2. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Ответ: ABCD — параллелограмм.
Задача 3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Ответ: ABCD — параллелограмм.
Ошибка — решить, что равенства только одной пары противоположных сторон достаточно. Кажется, что две стороны одной длины уже задают нужную форму, но четырёхугольник может иметь равные стороны и не быть параллелограммом. Проверь себя: для признака нужны равенство обеих пар противоположных сторон либо равенство и параллельность одной пары.
Иногда свойства параллелограмма принимают за признаки. Свойство применяют, когда уже известно, что фигура — параллелограмм, а признак помогает это установить; путаница возникает из-за похожих формулировок. Перед доказательством спроси себя, что дано: если статус фигуры ещё нужно доказать, выбирай признак и проверяй его условие.
По условию о диагоналях иногда делают вывод, будто диагонали должны быть равны между собой. Но в признаке требуется другое: точка пересечения делит пополам каждую диагональ, то есть AO = OC и BO = OD. Чтобы проверить рассуждение, отметь равные половины отдельно и не подменяй их равенством целых диагоналей AC и BD.
Нельзя объявлять стороны параллельными только потому, что они равны или так выглядят на чертеже. Равенство отрезков не сообщает об их направлении, а чертёж может быть выполнен неточно. Ищи обоснование: например, равенство накрест лежащих углов или теорему о прямых, перпендикулярных одной и той же прямой.
Для этой темы нужно знать определение параллелограмма и понимать, что параллельные прямые не пересекаются. Пригодятся свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей: по равным накрест лежащим углам можно доказать параллельность. Также потребуются признаки равенства треугольников и знание о равенстве вертикальных углов.
Признаки помогают решать задачи о сторонах и диагоналях четырёхугольников: сначала по условию доказывают, что фигура — параллелограмм, а затем используют свойства этой фигуры. Так признаки становятся связующим шагом между данными задачи и выводами о параллельности или равенстве отрезков.
Чем признак параллелограмма отличается от его свойства?
Свойство описывает то, что верно для фигуры, которая уже является параллелограммом. Признак, наоборот, используют, чтобы доказать, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Например, равенство его диагоналей само по себе не является признаком, а деление диагоналей точкой пересечения пополам является.
Достаточно ли равенства одной пары противоположных сторон, чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм?
Нет, равенства одной пары недостаточно: такой четырёхугольник может не быть параллелограммом. Для признака по одной паре нужно дополнительно доказать, что эти стороны параллельны. Другой вариант — установить равенство обеих пар противоположных сторон.
Почему для признака по одной паре сторон нужны и равенство, и параллельность?
Параллельность позволяет получить равные углы при проведённой диагонали, а равенство сторон вместе с общей диагональю даёт равенство треугольников. Из этого можно вывести параллельность второй пары сторон. Если известна только одна из двух частей условия, такого доказательства не получится.
Что именно должно происходить с диагоналями по признаку параллелограмма?
Диагонали должны пересекаться, и точка пересечения должна делить каждую из них на два равных отрезка. Иными словами, если диагонали AC и BD пересекаются в O, то требуются равенства AO = OC и BO = OD. Равенство диагоналей между собой условием этого признака не является.
Как выбрать подходящий признак для доказательства?
Сначала выпиши данные условия и проверь, что именно известно: обе пары противоположных сторон, одна пара или отрезки диагоналей. Если условие подходит к одному из признаков, выбери диагональ и сравни треугольники либо используй равенство углов при параллельных прямых. В конце проверь, что доказаны все части условия выбранного признака.
10.3. Признаки параллелограмма
