§ 3. Признаки параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Выпуклый означает, что все его внутренние углы меньше 180°, а отрезки между любыми двумя точками фигуры лежат внутри неё. Это определение показывает, какое свойство нужно получить в конце доказательства.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, не имеющие общей вершины. В четырёхугольнике ABCD это пары AB и CD, BC и AD. Такое обозначение помогает не перепутать противоположные стороны с соседними и правильно выбрать условие признака.

Диагонали четырёхугольника — отрезки, соединяющие его противоположные вершины. В четырёхугольнике ABCD диагонали — AC и BD. Они делят фигуру на треугольники, поэтому через них удобно доказывать равенство частей и параллельность сторон.

Признак параллелограмма — условие, достаточное для доказательства того, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Например, равенство половин диагоналей само по себе не называется определением фигуры, но позволяет её распознать. После применения признака можно пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Как это устроено

Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны. Проведём диагональ AC: она образует треугольники ABC и CDA. У них AC — общая сторона, AB = CD, а углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда равны углы BCA и CAD, а значит, BC ∥ AD; обе пары сторон параллельны.

Если даны равенства AB = CD и BC = AD, одной диагонали снова достаточно. В треугольниках ABC и CDA сторона AC общая, а две другие стороны попарно равны, поэтому треугольники равны по трём сторонам. Из равенства соответствующих углов получаются равные накрест лежащие углы, следовательно, AB ∥ CD и BC ∥ AD.

Рассмотрим пересечение диагоналей AC и BD в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и вертикальным углам, поэтому равны соответствующие углы при сторонах AB и CD. Аналогично равны треугольники AOD и COB, что даёт параллельность AD и BC. Так устанавливаются обе пары параллельных сторон.

Признак и свойство отвечают на разные вопросы. Признак начинается с условных данных и помогает доказать, что фигура — параллелограмм, а свойство сообщает, что обязательно верно у уже известного параллелограмма. Например, деление диагоналей пополам — свойство параллелограмма и одновременно условие одного из его признаков, но направление рассуждения в этих случаях различается.

Выбирайте признак по виду данных. Увидели параллельность и равенство одной пары противоположных сторон — проводите диагональ и применяйте первый признак; увидели две пары равных сторон — сравнивайте треугольники по трём сторонам. Если указаны половины обеих диагоналей, используйте вертикальные углы и третий признак.

Признаки параллелограмма

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом выбора доказательства: сначала найдите в условии совпадающие данные. В последнем столбце указано, какие треугольники или углы нужно рассмотреть. В конце обязательно сформулируйте вывод: обе пары противоположных сторон параллельны.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Проведём диагональ AC. Получатся треугольники ABC и CDA.
2. В них AC — общая сторона, AB = CD по условию, а углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при AB ∥ CD.
3. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому углы BCA и CAD равны как соответствующие, откуда BC ∥ AD.

Ответ: AB ∥ CD и BC ∥ AD, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Задача 2

Условие: в четырёхугольнике ABCD AB = CD и BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Проведём диагональ AC и сравним треугольники ABC и CDA.
2. Сторона AC у них общая, AB = CD, BC = AD, значит, треугольники равны по трём сторонам.
3. Из равенства треугольников следуют равенства накрест лежащих углов: AB ∥ CD и BC ∥ AD.

Ответ: обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Задача 3

Условие: диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC, BO = OD, а углы AOB и COD вертикальные и равны, поэтому треугольники равны.
2. Из этого равенства получаются равные накрест лежащие углы при прямых AB и CD, значит, AB ∥ CD.
3. Теперь сравним треугольники AOD и COB: AO = OC, OD = OB, углы AOD и COB вертикальные. Следовательно, AD ∥ BC.

Ответ: обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

Типичные ошибки

Иногда параллелограммом называют любой четырёхугольник с одной парой параллельных сторон. Так можно описать трапецию, но для параллелограмма нужны две пары противоположных параллельных сторон. Проверяйте, доказана ли параллельность и второй пары.

Свойства путают с признаками и сразу используют равенство противоположных сторон или деление диагоналей пополам. Такие факты допустимы как вывод о уже известном параллелограмме, но в задаче на распознавание их нужно обосновать через признак. Спросите себя, доказан ли статус фигуры до применения свойства.

Равенство только одной пары противоположных сторон недостаточно. У разных четырёхугольников две противоположные стороны могут иметь одинаковую длину, но не быть параллельными. Ищите второе условие: параллельность этой пары или равенство другой пары.

В доказательстве по диагоналям нельзя просто написать, что треугольники равны. Нужно назвать треугольники, указать равные половины диагоналей и вертикальные углы, а затем объяснить вывод о параллельности. Такая проверка не оставляет пропущенных шагов.

Связь с другими темами

До этой темы нужны определение параллелограмма, свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников и свойство вертикальных углов. Именно они составляют основу всех трёх доказательств.

Дальше признаки пригодятся при изучении прямоугольника, ромба и квадрата. Эти фигуры являются специальными видами параллелограммов, поэтому сначала полезно установить сам факт параллелограммности.

В задачах на принадлежность четырёхугольника к определённому виду признаки помогают перейти от измерений и равенств к строгому доказательству. Выбор признака зависит от того, что дано: стороны, параллельность или диагонали.

Что запомнить

• Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, достаточно применить один из трёх его признаков.
• Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то четырёхугольник — параллелограмм.
• Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
• Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то четырёхугольник — параллелограмм.
• Для доказательства признаков обычно используют равенство треугольников.
• После доказательства равенства соответствующих углов можно сделать вывод о параллельности сторон.