54. Признаки параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обычно его обозначают ABCD; противоположные стороны в нём — AB и CD, а также BC и AD. Это определение помогает понять, что нужно доказать, чтобы назвать четырёхугольник параллелограммом: параллельность обеих пар сторон.

Признак параллелограмма — условие, по которому можно установить, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Например, таким условием может быть равенство противоположных сторон. Признаки нужны, чтобы не доказывать параллельность двух пар сторон напрямую, если известные данные позволяют воспользоваться более удобным способом.

Диагонали четырёхугольника — отрезки, соединяющие его противоположные вершины. В четырёхугольнике ABCD диагонали — AC и BD; точку их пересечения часто обозначают O. Эти обозначения позволяют коротко записывать, например, что диагонали делятся пополам: AO = OC и BO = OD.

Как это устроено

Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, по определению нужно показать параллельность обеих пар его противоположных сторон. Но иногда данные задачи позволяют вместо этого проверить одно специальное условие. Если условие выполнено, из него с помощью известных фактов о треугольниках и параллельных прямых следует нужная параллельность. Поэтому достаточно доказать любой один признак, а не начинать каждый раз с двух отдельных проверок.

Первый признак утверждает: если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то четырёхугольник — параллелограмм. Два условия здесь работают вместе: параллельность при диагонали даёт равные накрест лежащие углы, а равенство сторон и общая диагональ помогают сравнить треугольники. Из равенства этих треугольников следует равенство другой пары накрест лежащих углов. Значит, вторая пара противоположных сторон тоже параллельна.

Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, проведём диагональ, например AC. Получатся треугольники ABC и CDA: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому соответствующие углы равны. Эти равенства углов показывают, что AB ∥ CD и BC ∥ AD, следовательно, четырёхугольник является параллелограммом.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O и AO = OC, BO = OD. У треугольников AOB и COD две пары соответствующих сторон равны, а углы AOB и COD равны как вертикальные. Поэтому треугольники равны, и, например, ∠ABO = ∠CDO; это накрест лежащие углы при прямых AB и CD, значит, AB ∥ CD. Аналогично равенство треугольников AOD и COB даёт AD ∥ BC, так что ABCD — параллелограмм.

Признаки удобны в разных ситуациях, и выбор зависит от данных задачи. Если известны длины сторон, проверьте равенство противоположных сторон или сочетание равенства и параллельности одной пары. Если известны части диагоналей, ищите точку пересечения и проверяйте, делит ли она пополам каждую диагональ. Такой выбор сокращает доказательство: используйте именно то условие, которое проще всего подтвердить.

Признаки параллелограмма

Сначала найдите в условии задачи данные о сторонах или диагоналях, затем сопоставьте их с первой колонкой. Во второй колонке уточните, какие равенства и параллельность действительно нужно доказать. Если условие одного признака выполнено полностью, можно сделать вывод из третьей колонки.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Сопоставим условие с признаками. Здесь известны равенство и параллельность одной пары противоположных сторон: AB = CD и AB ∥ CD.
2. Можно сразу применить первый признак параллелограмма: требуются именно эти два условия. Они выполнены для сторон AB и CD.
3. По признаку ABCD является параллелограммом; отдельно доказывать BC ∥ AD не нужно, поскольку это следует из признака.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

Задача 2. В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = CD и BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Данные говорят о равенстве обеих пар противоположных сторон: AB = CD и BC = AD. Значит, подходит признак попарного равенства противоположных сторон.
2. Для понимания доказательства проведём диагональ AC. В треугольниках ABC и CDA стороны AB и CD равны, BC и DA равны, а AC — общая сторона.
3. Треугольники равны по трём сторонам. Из равенства соответствующих углов получаем параллельность AB и CD, а также BC и AD.
4. Обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

Задача 3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Проверим условие диагонального признака: AO = OC означает, что O делит AC пополам, а BO = OD — что O делит пополам BD. Условие выполнено для обеих диагоналей.
2. У треугольников AOB и COD равны AO и OC, BO и OD, а углы при O равны как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников следует равенство накрест лежащих углов при прямых AB и CD, поэтому AB ∥ CD. Аналогично сравниваем треугольники AOD и COB и получаем AD ∥ BC.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что равенства одной пары противоположных сторон достаточно. Это условие часто путают с признаком, в котором дополнительно требуется параллельность этой пары. Проверь себя: в первом признаке должны одновременно стоять AB = CD и AB ∥ CD, либо аналогичные условия для другой пары.

• Ошибка — принять свойство за признак или наоборот. Равенство противоположных сторон верно у параллелограмма, но при доказательстве нужно использовать именно обратное утверждение — признак. Проверь направление рассуждения: сначала есть произвольный четырёхугольник, а вывод о параллелограмме делается только после проверки условия.

• Ошибка — применить признак диагоналей, проверив деление пополам только одной диагонали. Ученик может увидеть AO = OC и не проверить вторую диагональ. Запиши оба равенства: AO = OC и BO = OD; без одного из них условие признака не подтверждено.

• Ошибка — сделать вывод по равенству одной пары сторон и другой пары углов без подходящего обоснования. Похожие данные сами по себе не означают, что выполнен известный признак. Проверь, можно ли из них получить равенство треугольников, равенство накрест лежащих углов или прямо применить один из трёх признаков.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать определение параллелограмма и свойства параллельных прямых, в частности равенство накрест лежащих углов. Также понадобятся признаки равенства треугольников: через них связывают равенство сторон с равенством углов. Если эти знания забылись, повтори их перед самостоятельным доказательством.

Признаки помогают в задачах, где нужно установить вид четырёхугольника по сторонам, углам или диагоналям. После доказательства, что фигура — параллелограмм, можно применять его свойства. Эти знания пригодятся при изучении прямоугольника, ромба и квадрата — частных видов параллелограмма.

Что запомнить

• Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, достаточно выполнить один из его признаков.
• Параллелограмм получается, если одна пара противоположных сторон равна и параллельна.
• Попарное равенство противоположных сторон — признак параллелограмма.
• Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, он является параллелограммом.
• Перед выбором признака сопоставь его условие с данными задачи.