43. Признаки параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его обозначают ABCD, называя вершины по порядку: ABCD — параллелограмм. Это определение помогает отличить такой четырёхугольник от других и задаёт условие, которое в итоге нужно доказать.

Противоположные стороны четырёхугольника — стороны, не имеющие общей вершины: в ABCD это AB и CD, а также BC и AD. Противоположные вершины — вершины, не соединённые одной стороной, то есть A и C, B и D. Эти названия показывают, какие именно стороны и вершины сравнивают в задачах.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий его противоположные вершины. В ABCD диагонали — AC и BD; если они пересекаются, точку пересечения обозначают O. Такое обозначение позволяет записывать, например, равенство отрезков AO и OC и рассматривать треугольники, образованные диагоналями.

Признак параллелограмма — условие, по которому можно доказать, что данный четырёхугольник является параллелограммом. В отличие от определения, признак не требует сразу проверять параллельность обеих пар сторон. Он помогает перейти от известных равенств сторон или отрезков к нужному выводу.

Как это устроено

Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, по определению нужно установить параллельность двух пар противоположных сторон. Иногда это неудобно: в условии задачи вместо параллельности даны длины сторон или сведения о диагоналях. Признаки связывают такие данные с параллельностью, поэтому можно не доказывать её напрямую для обеих пар.

Первый признак работает, если одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна. Например, пусть AB = CD и AB ∥ CD; проведём диагональ AC. В треугольниках BAC и DCA равны AB и CD, сторона AC общая, а углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD. Поэтому треугольники равны, а равенство соответствующих углов BCA и DAC показывает, что BC ∥ AD; обе пары сторон параллельны.

Второй признак: если равны обе пары противоположных сторон, то четырёхугольник является параллелограммом. Проведём диагональ AC: в треугольниках ABC и CDA равны AB и CD, BC и DA, а AC — общая сторона. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому соответствующие углы при диагонали равны. Из равенства углов BAC и DCA следует AB ∥ CD, а из равенства BCA и DAC — BC ∥ AD.

Третий признак использует диагонали: если они точкой пересечения делятся пополам, четырёхугольник является параллелограммом. Пусть AO = OC и BO = OD; рассмотрим треугольники AOB и COD. Две пары их сторон равны по условию, а углы AOB и COD равны как вертикальные, значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Равные углы при пересечении диагоналей дают AB ∥ CD и AD ∥ BC, то есть обе пары противоположных сторон параллельны.

У признаков разные исходные данные, но цель у них общая: доказать, что перед нами параллелограмм. В первых двух случаях начинают с равенств сторон, в третьем — с равенств частей диагоналей. Равенство треугольников помогает получить равенство углов, а оно, в свою очередь, обосновывает параллельность противоположных сторон.

Признаки параллелограмма

Сначала найди в условии задачи исходные данные и сопоставь их с первым столбцом. Затем проверь, выполнены ли все условия соответствующего признака, и изложи доказательство. Одного похожего условия недостаточно: например, для первого признака нужны и равенство, и параллельность одной пары сторон.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм. В условии уже выполнены оба требования первого признака, но нужно показать, как они приводят к параллельности оставшихся сторон. Для этого сравним треугольники, на которые фигуру делит диагональ.

1. Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольники BAC и DCA.
2. AB = CD по условию, AC — общая сторона, а углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при AB ∥ CD.
3. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому углы BCA и DAC равны; это накрест лежащие углы при прямых BC и AD, значит, BC ∥ AD.

Теперь параллельны AB и CD по условию, а BC и AD — по доказательству. Следовательно, обе пары противоположных сторон параллельны, и ABCD — параллелограмм. Ответ: ABCD — параллелограмм.

Задача 2. В четырёхугольнике ABCD AB = CD и BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Здесь не дано, что какая-либо пара сторон параллельна, поэтому первый признак применить нельзя. Проведённая диагональ поможет сначала получить равенство треугольников, а затем — параллельность сторон.

1. Проведём AC и сравним треугольники ABC и CDA.
2. AB = CD и BC = DA по условию, AC — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам.
3. Из равенства треугольников получаем равенство углов BAC и DCA, а также BCA и DAC. Эти пары — накрест лежащие углы, поэтому AB ∥ CD и BC ∥ AD.

Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD является параллелограммом. Ответ: ABCD — параллелограмм.

Задача 3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите неизвестные отрезки, если AC = 14, BD = 10. Данные сразу подходят к признаку по диагоналям: каждая диагональ делится точкой O пополам. После доказательства останется выразить длины частей через длины целых диагоналей.

1. Треугольники AOB и COD равны: AO = OC, BO = OD, а углы AOB и COD вертикальные.
2. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы дают AB ∥ CD и AD ∥ BC. Поэтому ABCD — параллелограмм.
3. Так как AO = OC и AC = 14, каждая часть равна 14 : 2 = 7. Так как BO = OD и BD = 10, каждая часть равна 10 : 2 = 5.

Ответ: ABCD — параллелограмм; AO = OC = 7, BO = OD = 5.

Типичные ошибки

Ошибка: считать достаточным равенство одной пары противоположных сторон. Его допускают, потому что равные стороны встречаются в параллелограмме, но это свойство не работает как признак без дополнительных условий. Проверь себя: для первого признака нужны и равенство, и параллельность одной пары; одно равенство не доказывает нужный вывод.

Ошибка: путать равенство и параллельность сторон. Это разные условия: равенство означает одинаковую длину, а параллельность — что прямые не пересекаются. При применении первого признака отдельно выпиши оба факта и проверь, что они относятся к одной паре противоположных сторон.

Ошибка: считать, что для признака по диагоналям достаточно их равенства. Такое условие само по себе не говорит, что диагонали делятся пополам, хотя легко спутать длины диагоналей с длинами их частей. Проверь записи: должны быть установлены равенства AO = OC и BO = OD, а не только AC = BD.

Ошибка: использовать свойство параллелограмма как признак без доказательства. Например, у параллелограмма противоположные стороны равны, но из равенства одной пары нельзя заключать, что любой четырёхугольник — параллелограмм. Перед выводом проверь, что условие совпадает с полным признаком, а не только с известным свойством.

Связь с другими темами

Для доказательств понадобятся определение параллелограмма, свойства параллельных прямых и признаки равенства треугольников. Свойства уже известного параллелограмма тоже полезны, но их нельзя автоматически использовать как признаки: сначала нужно доказать, что фигура относится к этому виду. Признаки помогают устанавливать, что четырёхугольник является параллелограммом, а затем решать задачи о его сторонах и диагоналях.

Что запомнить

• Равные и параллельные противоположные стороны — признак параллелограмма.
• Если обе пары противоположных сторон равны, четырёхугольник — параллелограмм.
• Если диагонали точкой пересечения делятся пополам, четырёхугольник — параллелограмм.
• Признак применяют к четырёхугольнику, который ещё нужно доказать параллелограммом.
• Для каждого признака важно точно проверить все условия.