44. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Четырёхугольник — фигура с четырьмя сторонами, а противоположными называют стороны, которые не имеют общей вершины. Слова «только две» здесь важны: они помогают отличить трапецию от параллелограмма, у которого параллельны обе пары противоположных сторон. Чтобы распознать трапецию, нужно проверить параллельность сторон.

Основания трапеции — её параллельные стороны. Они могут иметь разную длину, поэтому не следует считать, что основание обязательно длиннее или расположено снизу. Название «основание» помогает отметить пару сторон, для которой верны свойства параллельных прямых. Если в задаче дана трапеция, сначала найди именно эту пару.

Боковые стороны трапеции — две непараллельные стороны. Каждая из них соединяет концы разных оснований, поэтому прилегает к обоим основаниям. Это название нужно, чтобы не путать углы, стоящие у одного основания, с углами при одной боковой стороне. Такое различие особенно важно при вычислении углов.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. Равными должны быть именно непараллельные стороны, а не основания. Это определение позволяет выделить особый вид трапеций: для него верны дополнительные свойства углов и диагоналей, которых нет у любой трапеции.

Как это устроено

Чтобы распознать трапецию, проверь, какая пара противоположных сторон параллельна. Если параллельна ровно одна пара, перед тобой трапеция; если параллельны обе пары — параллелограмм. Параллелограмм не подходит под определение трапеции, потому что у него не одна, а две пары параллельных сторон. Такое сравнение не даёт перепутать фигуры только из-за похожего вида.

Рассмотрим одну боковую сторону как секущую — прямую, которая пересекает две другие прямые. Этими прямыми здесь служат параллельные основания. Углы внутри полосы между основаниями, лежащие по одну сторону секущей, называются внутренними односторонними; их сумма равна 180°. Поэтому углы, прилежащие к одной боковой стороне трапеции, всегда в сумме дают 180°.

У равнобедренной трапеции боковые стороны равны, и от этого фигура симметрична относительно прямой, перпендикулярной основаниям и проходящей между ними. При отражении относительно этой прямой один конец каждого основания переходит в другой, а прилежащие к основанию углы совпадают. Значит, углы при каждом основании равны попарно. У произвольной трапеции боковые стороны могут быть разными, поэтому такого равенства углов ожидать нельзя.

Из равенства углов при основании можно получить равенство диагоналей. Обозначим основания AB и CD, боковые стороны AD и BC, а диагонали AC и BD. В треугольниках ABC и BAD равны AB — общая сторона, углы BAC и ABD как углы при основании AB, а также углы ABC и BAD. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а их соответствующие диагонали AC и BD равны. Так доказывают равенство диагоналей равнобедренной трапеции.

Верно и обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная. Для доказательства сравнивают треугольники, образованные диагоналями и основаниями: у них есть равные диагонали, общая сторона-основание и равные углы при основании, полученные из параллельности оснований. Равенство треугольников даёт равенство углов при основании, а через них устанавливается равенство боковых сторон. Значит, равные диагонали служат признаком равнобедренной трапеции.

Признаки и свойства трапеции

В таблице отделены свойства любой трапеции от тех, которые появляются только при равенстве боковых сторон. Если нужно найти углы, сначала проверь, относятся ли они к одному основанию или к одной боковой стороне. Для доказательства равнобедренности можно использовать равенство диагоналей.

Разбор задач

Задача 1. В трапеции один из углов при боковой стороне равен 68°. Найдите второй угол при этой стороне.

1. Основания трапеции параллельны, а боковая сторона пересекает их как секущая.
2. Углы при одной боковой стороне — внутренние односторонние, поэтому их сумма равна 180°.
3. Обозначим неизвестный угол через x. Тогда x + 68° = 180°, откуда x = 180° − 68° = 112°.

Ответ: 112°. Здесь важно выбирать именно углы при одной боковой стороне, а не при одном основании.

Задача 2. В равнобедренной трапеции угол при основании равен 72°. Найдите остальные углы.

1. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Значит, второй угол у того же основания тоже равен 72°.
2. Каждый угол у другого основания прилежит к тому же боковому ребру, что и один из уже известных углов. Их сумма равна 180°.
3. Вычисляем: 180° − 72° = 108°. Оба угла у второго основания равны 108°, поскольку углы при каждом основании равны.

Ответ: остальные углы равны 72°, 108° и 108°. Проверка: сумма всех четырёх углов равна 72° + 72° + 108° + 108° = 360°, как и должна быть у четырёхугольника.

Задача 3. В трапеции диагонали равны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

1. Обозначим основания AB и CD, боковые стороны AD и BC, диагонали AC и BD. По условию AC = BD, а основания параллельны.
2. Сравним треугольники ABC и BAD. У них равны диагонали AC и BD, общая сторона AB, а углы между этими сторонами равны как углы при основании AB в соответствующих треугольниках, образованные параллельными основаниями.
3. Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов при основании. Тогда углы у каждого основания равны, а боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны.

Ответ: боковые стороны трапеции равны, поэтому по определению трапеция равнобедренная. При доказательстве важно указать, какие стороны и углы сравниваются, а не ограничиваться фразой «диагонали равны».

Типичные ошибки

Ошибка — называть основаниями любые две противоположные стороны. Так происходит, когда стороны выбирают по положению на рисунке, например считают основанием нижнюю сторону и одну боковую. Проверь себя: основания должны быть параллельны друг другу. Если параллельна другая пара, именно она и является основаниями.

Ошибка — путать боковые стороны с основаниями. Иногда боковыми называют самые короткие стороны или стороны, нарисованные наклонно, но длина и наклон не определяют название. Боковые стороны — это непараллельные стороны трапеции. Перед решением отметь параллельную пару и только после этого назови оставшиеся стороны боковыми.

Ошибка — считать равными углы при основании любой трапеции. Это свойство относится только к равнобедренной трапеции, потому что её боковые стороны равны. Ошибку допускают, запоминая свойство без условия. Проверь себя: сначала установи, что боковые стороны равны или что диагонали равны, и только затем используй равенство углов при основании.

Ошибка — складывать до 180° углы при одном основании. Эти углы расположены у одной параллельной стороны и не являются внутренними односторонними при секущей. Сумма 180° относится к углам, прилежащим к одной боковой стороне. Перед вычислением посмотри, какую сторону углы разделяют: основание или боковую.

Связь с другими темами

Для работы с трапецией нужно знать, что такое параллельные прямые, и уметь применять свойства углов при секущей. Именно они объясняют, почему углы при одной боковой стороне дополняют друг друга до 180°. Сумма углов четырёхугольника помогает проверить вычисления и найти неизвестный угол, если известны остальные три. Эти знания пригодятся и в задачах на доказательство: свойства диагоналей и равнобедренной трапеции позволяют обосновывать равенство углов и сторон.

Что запомнить

• Трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных противоположных сторон.
• Параллельные стороны трапеции называются основаниями.
• Непараллельные стороны трапеции называются боковыми.
• Углы при одной боковой стороне трапеции в сумме равны 180°.
• В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
• В равнобедренной трапеции диагонали равны.
• Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.