10.7. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны не пересекаются, даже если их продолжить. Это свойство помогает отличить трапецию от других четырёхугольников.

Основания трапеции — её параллельные стороны; боковые стороны — две остальные стороны. На чертеже основания часто располагают горизонтально, но такое положение не обязательно. Чтобы правильно назвать стороны, нужно проверить их параллельность, а не смотреть, какая из них длиннее.

Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из вершины одного основания к прямой, содержащей другое основание. Перпендикуляр — отрезок, образующий с прямой прямой угол. Высота нужна, чтобы измерить расстояние между параллельными основаниями; поэтому наклонная боковая сторона обычно высотой не является.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Середина делит отрезок на две равные части. Средняя линия помогает связать длины оснований с длиной отрезка внутри трапеции.

Как это устроено

У трапеции параллельна только одна пара противоположных сторон. Благодаря этому условию фигура отличается от параллелограмма, у которого параллельны две пары сторон. На рисунке основания удобно расположить горизонтально: так легче увидеть, какие стороны параллельны, а какие соединяют основания.

Основания и боковые стороны определяются именно параллельностью. Параллельные прямые не пересекаются, а две непараллельные прямые при продолжении пересекутся. Поэтому боковые стороны могут казаться параллельными на неаккуратном чертеже, но проверять нужно их направление, а не внешний вид или длину.

Высота измеряет расстояние между основаниями, потому что это расстояние между параллельными прямыми всегда измеряют перпендикуляром. Наклонный отрезок между основаниями длиннее такого перпендикуляра, поэтому боковая сторона не заменяет высоту. Перпендикуляр можно провести из любой вершины к прямой другого основания, а если нужно — к её продолжению.

Средняя линия соединяет середины боковых сторон, а её параллельность основаниям объясняется теоремой о средней линии треугольника. Проведём диагональ: она разделит трапецию на два треугольника. В одном из них отрезок от середины боковой стороны к середине диагонали параллелен основанию этого треугольника; в другом такой же вывод получается для второго основания. Эти отрезки лежат на одной прямой, поэтому средняя линия параллельна основаниям.

Длина средней линии равна полусумме длин оснований: m = (a + b) / 2. Это можно увидеть, если провести диагональ и применить теорему о средней линии треугольника к двум получившимся треугольникам. Средняя линия состоит из двух отрезков, каждый из которых равен половине соответствующего основания. Складывая эти половины, получаем половину суммы оснований.

Элементы трапеции и их свойства

Сначала определите, какие стороны параллельны: они окажутся основаниями. Затем найдите остальные элементы по их определениям. Если требуется вычисление, используйте свойство нужного элемента: например, для средней линии понадобится длина обоих оснований.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а боковые стороны не параллельны. Назовите основания и боковые стороны трапеции. Начнём с главного признака: основаниями могут быть только параллельные стороны. Названия остальных сторон определим после этого.

1. По условию AB ∥ CD, значит, эти стороны являются основаниями.
2. В четырёхугольнике остаются стороны AD и BC. Они не параллельны и соединяют основания, поэтому являются боковыми сторонами.

Ответ: основания — AB и CD, боковые стороны — AD и BC. Такой порядок рассуждений удобен и в других задачах: сначала отмечаем параллельные стороны, а потом называем оставшиеся.

Задача 2. Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Найдите длину её средней линии. Поскольку известны оба основания, применим формулу средней линии: m = (a + b) / 2. Сложим длины оснований и разделим результат на два.

1. Подставим данные: m = (8 + 14) / 2.
2. Вычислим сумму оснований: 8 + 14 = 22 см.
3. Найдём половину суммы: 22 / 2 = 11 см.

Ответ: 11 см. Проверка: средняя линия должна находиться между основаниями по длине, а 11 см действительно больше 8 см и меньше 14 см.

Задача 3. Средняя линия трапеции равна 11 см, одно основание — 7 см. Найдите другое основание и объясните ход рассуждений. Формула говорит, что удвоенная средняя линия равна сумме оснований. Поэтому сначала найдём сумму, а затем вычтем известное слагаемое.

1. Обозначим неизвестное основание через b, а известное — через 7. Запишем формулу: 11 = (7 + b) / 2.
2. Умножим обе части равенства на 2: 22 = 7 + b.
3. Вычтем 7: b = 22 − 7 = 15 см.

Ответ: другое основание равно 15 см. Проверим результат: полусумма 7 см и 15 см равна 11 см, как и указано в условии.

Типичные ошибки

Иногда основаниями называют любые две стороны, например две самые длинные. Это неверно: длина и положение на рисунке не определяют основания, их определяет параллельность. Проверьте, что выбранные стороны противоположны и параллельны; только такая пара будет основаниями.

Основания и боковые стороны могут перепутать, если ориентироваться на то, как фигура нарисована. На повернутом или наклонном чертеже основания не обязательно выглядят горизонтальными. Чтобы проверить себя, найдите единственную пару параллельных сторон: это основания, а две оставшиеся — боковые.

За высоту иногда принимают наклонную боковую сторону, потому что она соединяет основания. Но высота обязана образовывать с ними прямой угол, а наклонный отрезок такого условия обычно не выполняет. Проверьте угольником или по условию задачи, перпендикулярен ли отрезок основаниям.

При вычислении средней линии можно сложить основания, но забыть разделить сумму пополам. Другая ошибка — считать, что средняя линия равна половине только одного основания. Запишите формулу m = (a + b) / 2 и выполните проверку: результат должен быть средним арифметическим двух оснований, то есть лежать между их длинами.

Связь с другими темами

Для работы с трапецией нужны знания о параллельных прямых, перпендикуляре и середине отрезка. Признаки параллельности помогают определить основания, а понятие перпендикуляра — правильно провести высоту. Чтобы находить среднюю линию, понадобится теорема о средней линии треугольника.

Основания и высота будут нужны при изучении площади трапеции. Умение распознавать элементы также помогает решать задачи на четырёхугольники: сначала устанавливают, какие стороны параллельны, а затем используют подходящие свойства фигуры. Поэтому полезно сопровождать вычисления коротким чертежом с обозначениями.

Что запомнить

• У трапеции параллельна одна пара противоположных сторон.
• Параллельные стороны трапеции — её основания.
• Две другие стороны называются боковыми.
• Высота перпендикулярна основаниям.
• Средняя линия соединяет середины боковых сторон.
• Средняя линия параллельна основаниям.
• Длина средней линии равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2.