"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Трапеция — четырёхугольник с парой параллельных сторон. Эти стороны называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами. У трапеции выделяют высоту и среднюю линию: первая показывает расстояние между основаниями, вторая соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Эти свойства помогают находить неизвестные длины, а признаки равнобедренной трапеции — устанавливать равенство её сторон и углов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Именно эти параллельные стороны называют основаниями трапеции. Чтобы распознать фигуру, достаточно проверить, есть ли у неё такая пара сторон: остальные стороны при этом могут быть наклонены по-разному.
Основания трапеции — её параллельные стороны, а две другие стороны называют боковыми. Например, если AB ∥ CD, то AB и CD — основания, а AD и BC — боковые стороны. Такое разделение помогает не путать стороны фигуры, даже если на чертеже основания расположены наклонно.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание. Перпендикуляр пересекает эту прямую под прямым углом, а его длину можно обозначить h. Высота нужна, чтобы измерить расстояние между основаниями и решать задачи, связанные с размерами трапеции.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Если середины боковых сторон обозначены M и N, то MN — средняя линия. По этому отрезку можно судить о расположении оснований и находить его длину по длинам оснований.
На чертеже сначала найди единственную пару противоположных сторон, которые параллельны: обычно это видно по одинаковым отметкам параллельности. Это и есть основания, потому что определение трапеции связывает именно параллельные стороны с этим названием. Две другие стороны не обязаны быть ни горизонтальными, ни одинаковыми по длине, поэтому их называют боковыми. Ориентироваться только на то, какие стороны нарисованы сверху и снизу, нельзя.
Чтобы провести высоту, выбери точку на одном основании и опусти из неё перпендикуляр на прямую, содержащую другое основание. Он может попасть как на сам отрезок основания, так и на его продолжение, поэтому в определении говорится о прямой. Расстояние между параллельными прямыми постоянно: если из разных точек одной прямой провести перпендикуляры к другой, получатся равные отрезки. Поэтому высота не зависит от выбора точки на основании.
Для средней линии отметь середину каждой боковой стороны и соедини эти точки. Почему полученный отрезок параллелен основаниям, можно увидеть, если провести диагональ трапеции: в одном из образованных треугольников отрезок соединит середины двух сторон. По теореме о средней линии треугольника он параллелен третьей стороне. Эта сторона связана с основанием, поэтому средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям.
Обозначим основания через a и b, а среднюю линию через m. Тогда m = (a + b) / 2: длина средней линии равна полусумме оснований. Связь с теоремой о средней линии треугольника помогает понять, откуда берётся формула: диагональ делит трапецию на два треугольника, а отрезки, соединяющие середины их сторон, имеют длину, равную половине соответствующей стороны. В результате длина средней линии оказывается средним арифметическим длин оснований.
Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. В таком случае углы при одном основании равны между собой, и углы при другом основании тоже равны. Причина в симметричном устройстве фигуры: равные боковые стороны дают равные треугольники при проведении высот к основаниям. Поэтому свойства равнобедренной трапеции позволяют находить неизвестные углы и стороны.
| Элемент или вид трапеции | Определение или свойство | Обозначение или формула |
|---|---|---|
| Основания | Параллельные противоположные стороны | a ∥ b |
| Боковые стороны | Две другие стороны трапеции | Например, AD и BC |
| Высота | Перпендикуляр между прямыми оснований | h ⟂ основаниям |
| Средняя линия | Отрезок между серединами боковых сторон; параллелен основаниям | m = (a + b) / 2 |
| Равнобедренная трапеция | Боковые стороны равны, углы при каждом основании равны | AD = BC |
В таблице буквы a и b обозначают длины оснований, а m — длину средней линии. Сначала определяй стороны по их свойствам, а затем выбирай нужную строку: например, для расстояния между основаниями нужна высота, а для вычисления отрезка между серединами боковых сторон — формула средней линии.
Задача 1. В трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны. Назвать основания и боковые стороны. Здесь не нужно сравнивать длины сторон или угадывать их по расположению на рисунке: условие уже указывает параллельную пару. Остальные стороны составляют боковые стороны.
Ответ: основания — AB и CD, боковые стороны — AD и BC.
Задача 2. Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Найти длину её средней линии. Для средней линии известны оба необходимых значения, поэтому применяем формулу полусуммы. Перед вычислением сложим длины оснований, а затем разделим полученное число на два.
Ответ: длина средней линии равна 11 см.
Задача 3. Средняя линия трапеции равна 11 см, одно основание — 7 см. Найти второе основание. Обозначим неизвестное основание через x и подставим известные величины в формулу. После решения уравнения проверим, что найденное число действительно даёт среднюю линию 11 см.
Ответ: второе основание равно 15 см; проверка подтверждает результат.
Ошибка: основаниями называют любые две противоположные стороны. Так происходит, когда забывают главное условие определения трапеции. Проверь себя: у оснований должны быть одинаковые отметки параллельности, или в условии должно быть сказано, что они параллельны.
Ошибка: боковые стороны выбирают по тому, что они наклонены или стоят по краям рисунка. Трапецию можно изобразить в разных положениях, поэтому внешний вид не определяет названия сторон. Проверь параллельность: параллельная пара — основания, оставшаяся пара — боковые стороны.
Ошибка: высоту считают боковой стороной или проводят её вдоль любой стороны. Это возможно лишь в особом случае, если боковая сторона перпендикулярна основаниям. Проверь себя: высота должна образовывать прямой угол с основаниями и измерять расстояние между их прямыми.
Ошибка: длину средней линии записывают как сумму оснований или их разность. Вероятно, запомнились числа в формуле, но потерялось деление на два. Проверь результат: средняя линия — полусумма оснований, поэтому её длина должна быть между длинами оснований, если они различны.
Для изучения трапеции понадобятся определения четырёхугольника и параллельных прямых, умение проводить перпендикуляр и находить середину отрезка. Теорема о средней линии треугольника объясняет параллельность средней линии трапеции основаниям и помогает вывести формулу её длины. Свойства равнобедренной трапеции связаны с равенством треугольников и углами при параллельных прямых. Позже средняя линия пригодится в задачах на длины отрезков и площади многоугольников.
Как отличить основания трапеции от боковых сторон?
Найди пару противоположных параллельных сторон: это основания. Две оставшиеся стороны — боковые, независимо от того, как трапеция расположена на рисунке.
Может ли высота трапеции совпадать с её боковой стороной?
Да, если боковая сторона перпендикулярна основаниям, она одновременно является высотой. Но это бывает не у каждой трапеции: в общем случае высота — отдельный перпендикулярный отрезок.
Почему средняя линия трапеции параллельна основаниям?
Если провести диагональ, средняя линия образует среднюю линию одного из получившихся треугольников. По теореме о средней линии треугольника этот отрезок параллелен диагонали, а с учётом параллельности оснований — и основаниям трапеции.
Как найти среднюю линию, если известны оба основания?
Сложи длины оснований и раздели сумму на 2: m = (a + b) / 2. Например, для оснований 8 см и 14 см средняя линия равна 11 см.
Какие стороны и углы равны в равнобедренной трапеции?
В равнобедренной трапеции равны боковые стороны. Также равны углы при каждом основании: отдельно пара углов у одного основания и пара у другого.
§ 33. Трапеция
