§ 34. Теорема Фалеса

Определения и обозначения

Теорема Фалеса утверждает: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них равные или пропорциональные отрезки. Если на одной стороне равны соседние отрезки, то равны и соответствующие им отрезки на другой стороне. В общем случае отношения соответствующих длин одинаковы. Теорема нужна, чтобы сравнивать отрезки и находить неизвестные длины.

Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В конфигурации теоремы такие прямые проводят через обе стороны угла. Проверка параллельности важна: именно она позволяет использовать теорему и делать вывод о длинах отрезков.

Соответствующие отрезки лежат на разных сторонах угла и заключены между одной и той же парой параллельных прямых. Например, отрезок между первой и второй параллельными прямыми на одной стороне соответствует отрезку между этими же прямыми на другой. Такое сопоставление помогает не перепутать, какие длины нужно сравнивать.

Пропорциональные отрезки — отрезки, отношения соответствующих длин которых равны. Например, если AB / BC = A₁B₁ / B₁C₁, то пары AB и A₁B₁, BC и B₁C₁ пропорциональны. Это понятие нужно, чтобы составлять равенство отношений и вычислять неизвестную длину.

Как это устроено

Сначала из общей вершины проводят две луча, образующие угол, а затем несколько параллельных прямых, пересекающих оба луча. Точки пересечения отмечают на каждой стороне угла, чтобы обозначить отрезки между соседними прямыми. Параллельность можно проверить по условию задачи или установить по известному признаку параллельности. Без этого условия теорема Фалеса неприменима.

Почему равным отрезкам на одной стороне соответствуют равные отрезки на другой? Проведём из вершины угла лучи, которые являются сторонами угла, и рассмотрим треугольники с общей вершиной, основания которых лежат на параллельных прямых. У них равны углы при вершине, а углы у оснований равны как накрест лежащие или соответственные углы при параллельных прямых. Поэтому эти треугольники подобны, а отрезки на сторонах угла изменяются в одном и том же отношении.

Если соседние отрезки на одной стороне равны, расстояния от вершины до следующих точек пересечения растут на одну и ту же величину. Соответствующие расстояния на другой стороне пропорциональны расстояниям на первой: это следует из подобия треугольников с общей вершиной. Разность двух соседних расстояний на первой стороне равна следующей такой же разности. Значит, соответствующие разности на второй стороне тоже равны.

Теорема работает и тогда, когда отрезки на одной стороне не равны. Параллельные прямые образуют с двумя сторонами угла подобные треугольники, поэтому отношение соответствующих расстояний от вершины одинаково. Если вычесть из двух таких расстояний меньшую длину, получатся отрезки между соседними параллельными прямыми. Их отношения также одинаковы: AB / BC = A₁B₁ / B₁C₁.

Чтобы распознать нужные элементы в задаче, сначала найди вершину угла и две его стороны. Затем выдели прямые, которые пересекают обе стороны, и проверь, что они параллельны. Наконец, сопоставь отрезки по одной и той же паре параллельных прямых: именно они соответствуют друг другу. Отрезок от вершины до точки пересечения может включать несколько таких промежутков и не всегда является одним из них.

Теорема Фалеса: условие и вывод

Пользуйся таблицей после того, как убедился, что прямые параллельны и выбрал соответствующие отрезки. Если отрезки на одной стороне равны, можно сразу сделать вывод о равенстве соответствующих отрезков. Если известны длины, запиши пропорцию, сохраняя порядок пар.

Разбор задач

Задача 1. Внутри угла проведены две параллельные прямые. На одной стороне угла они отсекают отрезки 4 см и 4 см. Первый соответствующий отрезок на другой стороне равен 6 см. Нужно найти второй. Здесь на одной стороне даны равные отрезки, поэтому применяем прямое следствие теоремы Фалеса.

1. Сопоставим отрезки, заключённые между одной и той же парой параллельных прямых. По условию они равны на первой стороне: 4 см = 4 см.
2. По теореме Фалеса соответствующие отрезки на второй стороне также равны. Значит, если первый равен 6 см, то второй тоже равен 6 см.

Ответ: 6 см.

Задача 2. Параллельные прямые отсекают на одной стороне угла отрезки 3 см и 5 см, а на другой — 6 см и x см. Требуется найти x. Отрезки расположены между соответствующими парами параллельных прямых, поэтому их отношения равны по теореме Фалеса.

1. Запишем пропорцию в одинаковом порядке: 3 / 5 = 6 / x. Числители соответствуют друг другу, как и знаменатели.
2. Перемножим крайние и средние члены: 3x = 5 · 6. Тогда 3x = 30, откуда x = 10.

Ответ: 10 см.

Задача 3. Точки делят одну сторону угла на последовательные отрезки 4 см, 6 см и 8 см. Через эти точки проведены параллельные прямые, а расстояние от вершины угла до первой точки на другой стороне равно 6 см. Нужно найти расстояние между второй и третьей точками на другой стороне. Сначала важно отличить отдельный промежуток между параллельными прямыми от расстояния, отсчитанного от вершины.

1. На первой стороне расстояние от вершины до первой точки равно 4 см. На другой стороне оно равно 6 см, поэтому соответствующие расстояния относятся как 6 / 4 = 1,5.
2. Все соответствующие расстояния и промежутки увеличиваются в одном отношении. Промежутку 8 см между второй и третьей точками соответствует 8 · 1,5 = 12 см.

Ответ: 12 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать отрезки, которые лежат между разными парами параллельных прямых. Её допускают, если не отмечают порядок точек на сторонах угла. Проверь себя: для каждой пары отрезков укажи две параллельные прямые, между которыми они заключены; эти пары должны совпасть.

Вторая ошибка — применять теорему, не проверив параллельность прямых. Одного факта, что прямые пересекают стороны угла, недостаточно, потому что без параллельности не гарантируются нужные равенства углов. Перед решением выпиши или установи, какие именно прямые параллельны.

Третья ошибка — составлять пропорцию между несоответствующими отрезками или менять порядок величин только в одной части. Так равенство отношений перестаёт соответствовать теореме. Для проверки подпиши пары соответствующих отрезков и сравни сначала первый с первым, затем второй со вторым.

Четвёртая ошибка — путать промежуток между соседними параллельными прямыми с расстоянием от вершины угла до точки пересечения. Последнее может состоять из нескольких промежутков, поэтому их длины различаются. На чертеже отметь начальную и конечную точки искомого отрезка и проверь, включает ли он вершину угла.

Связь с другими темами

Чтобы работать с теоремой Фалеса, нужно знать признаки и свойства параллельных прямых, в частности равенство углов при пересечении параллельных прямых секущей. Для вычислений пригодятся свойства пропорции. Обоснование теоремы связано с равенством и подобием треугольников: подобие показывает, почему соответствующие расстояния изменяются в одном отношении.

Дальше теорему используют для деления отрезка на равные части и построения отрезков заданного отношения. Она помогает решать задачи на пропорциональность и подготавливает к изучению подобия треугольников. При построениях параллельные прямые дают способ перенести деление с одного отрезка на другой.

Что запомнить

• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют соответствующие отрезки.
• Равным отрезкам на одной стороне угла соответствуют равные отрезки на другой стороне.
• В общем случае соответствующие отрезки на сторонах угла пропорциональны.
• Перед применением теоремы укажи, какие прямые параллельны.
• В пропорции сопоставляй отрезки, заключённые между одними и теми же параллельными прямыми.
• Не путай отдельный промежуток между параллельными прямыми с расстоянием от вершины угла.
• Теорема позволяет найти неизвестную длину, составив пропорцию.