"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Углы, связанные с окружностью, помогают находить градусные меры дуг и неизвестные углы, даже если на чертеже не указаны все размеры. Центральный угол равен соответствующей дуге, а вписанный угол составляет половину дуги, на которую опирается. Эти правила позволяют сравнивать углы, доказывать, что угол опирается на диаметр и потому является прямым, а также решать задачи с касательными и хордами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны пересекают окружность в двух точках и задают дугу между ними. Поэтому центральный угол помогает описать, какую часть окружности занимает эта дуга. В задачах обычно говорят о соответствующей углу дуге.
Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность. Эти стороны выходят из вершины и встречают окружность ещё в двух точках. Угол опирается на дугу между этими точками, не содержащую его вершину. Это определение нужно, чтобы правильно выбрать дугу для вычислений.
Угол между касательной и хордой образован касательной и хордой, которые имеют общую точку на окружности. Эта общая точка служит вершиной угла. Касательная касается окружности только в этой точке, а хорда соединяет её с другой точкой окружности. Такое расположение позволяет связать угол с дугой.
Дуга, на которую опирается угол, — часть окружности между точками, где стороны угла пересекают окружность. Для вписанного угла это точки на его сторонах, а саму вершину при выборе дуги не включают. По мере этой дуги можно находить угол или проверять решение. Поэтому сначала отмечают точки пересечения, а уже потом выбирают нужную дугу.
Стороны центрального угла проходят из центра к концам дуги, то есть фактически задают её границы. По определению градусной меры окружности центральный угол показывает, какую долю полного оборота занимает эта часть окружности. Поэтому градусная мера соответствующей дуги равна градусной мере центрального угла. Например, если центральный угол равен 60°, дуга, которую он задаёт, тоже имеет меру 60°.
Вписанный угол и центральный угол могут опираться на одну дугу, то есть их стороны проходят через одни и те же концы дуги. Если соединить центр окружности с вершиной вписанного угла, появятся равнобедренные треугольники: в каждом два отрезка являются радиусами. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому их можно выразить через угол при вершине. Сложив получившиеся части, видим, что центральный угол вдвое больше вписанного, а значит, вписанный равен его половине.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, потому что каждый из них равен половине меры этой дуги. Мера дуги для них одна и та же, следовательно, половина тоже одна и та же. На чертеже вершины таких углов могут находиться в разных точках окружности. Перед сравнением важно убедиться, что выбрана именно одна дуга, а не две разные дуги с общими концами.
Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая имеет меру 180°. Вписанный угол, стороны которого проходят через концы диаметра, опирается на одну из этих полуокружностей. По правилу для вписанного угла его мера равна половине 180°, то есть 90°. Значит, угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой независимо от положения его вершины на окружности.
Касательная и хорда с общей точкой задают угол, связанный с дугой между концами хорды. Если провести через конец хорды другую хорду к точке на окружности, можно получить вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Их величины совпадают: угол между касательной и хордой равен такому вписанному углу. Это позволяет перейти от касательной к знакомому правилу для вписанного угла и, если нужно, найти меру дуги.
| Вид угла | Положение вершины | Связь с дугой или другим углом |
|---|---|---|
| Центральный угол | В центре окружности | Равен мере соответствующей дуги |
| Вписанный угол | На окружности | Равен половине дуги и половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу |
| Угол между касательной и хордой | В точке касания | Равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу |
Пользуйся таблицей после того, как определишь положение вершины угла и его стороны. Затем найди дугу по точкам пересечения сторон с окружностью и выбери подходящую связь. Не сравнивай углы, пока не проверил, что они относятся к одной и той же дуге.
Задача 1. Центральный угол равен 84°. Найдите градусную меру соответствующей дуги. Здесь известен угол с вершиной в центре, а требуется мера дуги, которую он задаёт. Для такой пары мер действует равенство. Никаких дополнительных вычислений или деления пополам не требуется.
Ответ: 84°.
Задача 2. Вписанный угол опирается на дугу в 130°. Найдите угол. Важно, что дана именно мера дуги, на которую опирается угол, а не другой части окружности. Вписанный угол составляет половину такой дуги. Поэтому нужно разделить 130° на 2.
Ответ: 65°.
Задача 3. Угол между касательной и хордой равен 37°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, а затем соответствующую дугу. Сначала нужно найти вписанный угол, поскольку его величина совпадает с углом между касательной и хордой. После этого используем правило для вписанного угла, чтобы определить дугу. Так задача решается в два последовательных шага.
Ответ: вписанный угол равен 37°, соответствующая дуга — 74°.
Первая ошибка — удвоить вписанный угол, когда нужно найти сам угол по мере дуги. Так делают, потому что помнят о связи угла и дуги, но путают, какая величина вдвое больше. Вписанный угол составляет половину дуги, поэтому дугу делят на два. Проверка: найденный угол должен быть меньше меры дуги.
Вторая ошибка — считать любой центральный и вписанный углы равными. Равенство их дуг или связь в два раза работают только тогда, когда углы опираются на одну и ту же дугу. Ошибку допускают, если ориентируются лишь на внешний вид чертежа. Отметь концы дуги для обоих углов и сравни эти пары точек.
Третья ошибка — выбрать дугу, которая просто лежит внутри изображения угла, не проверив её концы. Угол опирается на дугу между точками пересечения его сторон с окружностью; для вписанного угла выбирают дугу, не содержащую вершину. Путаница возникает из-за того, что на рисунке дуги могут выглядеть похоже. Проведи стороны угла до окружности и отметь точки пересечения.
Четвёртая ошибка — применять правило о касательной, когда прямая на самом деле пересекает окружность в двух точках. Иногда по наклону линии кажется, что она касается окружности, но этого недостаточно. Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания, а сама прямая касается окружности именно там. Проверь условие или отметку касания, прежде чем приравнивать угол вписанному.
Для работы с углами, связанными с окружностью, нужно уметь измерять и сравнивать углы, знать их основные виды и пользоваться свойствами треугольника. Также пригодится определение касательной: это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Эти знания позволяют понять, где находится вершина угла и какую дугу он задаёт. Новые правила связывают уже знакомые углы с частями окружности.
Свойства углов помогают доказывать теоремы и решать задачи, в которых встречаются хорды, касательные и вписанные многоугольники. Например, можно находить неизвестные углы в фигуре, опираясь на одну дугу, или использовать прямой угол, опирающийся на диаметр. Такие связи упрощают вычисления, когда на чертеже не указаны все величины. Они также помогают обосновать, почему полученный ответ верен.
Как определить дугу, на которую опирается угол?
Найди точки, в которых стороны угла пересекают окружность. Дуга между этими точками, не содержащая вершину угла, называется дугой, на которую он опирается.
Почему вписанный угол равен половине центрального угла?
У вписанного и центрального углов, опирающихся на одну дугу, связаны одни и те же точки окружности. Если провести радиусы к концам дуги, получатся равнобедренные треугольники; из их угловых соотношений следует, что центральный угол вдвое больше вписанного.
Всегда ли вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны?
Да, если вершины углов находятся на одной и той же дуге, а углы опираются на другую дугу, заданную концами хорды. Тогда оба угла равны половине меры этой дуги. Если вершины расположены по разные стороны хорды, они могут опираться на разные дуги, и равенство не следует.
Почему угол, опирающийся на диаметр, прямой?
Диаметр задаёт полуокружность, мера которой равна 180°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, поэтому его мера равна 180° : 2 = 90°.
Как связаны угол между касательной и хордой и вписанный угол?
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу. Поэтому, найдя один из этих углов, можно определить другой, а затем вычислить меру дуги.
§ 35. Углы, связанные с окружностью
