§ 36. Многоугольники, вписанные в окружность

Определения и обозначения

Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Стороны такого многоугольника являются хордами окружности. Это определение помогает отличить настоящую вписанную фигуру от фигуры, у которой на окружности находятся только некоторые вершины.

Описанная около многоугольника окружность — окружность, проходящая через все вершины этого многоугольника. Её центр одинаково удалён от каждой вершины. Поэтому, зная центр и радиус, можно проверить, принадлежит ли фигура данной окружности.

Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все четыре вершины которого лежат на одной окружности. Для него действуют специальные угловые свойства: противоположные углы в сумме дают 180°. Обычно вершины обозначают буквами A, B, C, D, а углы — ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Как это устроено

Для вписанного многоугольника требуется, чтобы на окружности находились все вершины, потому что окружность должна проходить через всю фигуру, а не через её отдельную часть. Если одна вершина не лежит на окружности, невозможно назвать эту окружность описанной около всего многоугольника. Проверять нужно именно каждую вершину, а не только несколько удобных точек.

Центр окружности, описанной около треугольника, равноудалён от его вершин. Все точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Поэтому центр окружности находится на серединных перпендикулярах как минимум к двум сторонам, а их пересечение однозначно задаёт центр.

Около любого треугольника можно описать окружность, потому что серединные перпендикуляры к двум его сторонам не параллельны и пересекаются в одной точке. Эта точка будет одинаково удалена от всех трёх вершин. В остроугольном треугольнике центр лежит внутри, в прямоугольном — на стороне, а в тупоугольном — вне треугольника: положение определяется величиной углов.

У вписанного четырёхугольника противоположные углы опираются на две дуги, которые вместе составляют всю окружность. Сумма соответствующих дуг равна 360°, а вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую он опирается. Поэтому ∠A + ∠C = 180°, и так же ∠B + ∠D = 180°.

Для выпуклого четырёхугольника равенство суммы противоположных углов 180° работает и в обратную сторону. Если, например, ∠A + ∠C = 180°, можно построить окружность через три вершины A, B и C. Угол, опирающийся на хорду BD, тогда заставит четвёртую вершину D оказаться на той же окружности.

Вписанные многоугольники и их свойства

Сначала найдите в условии фигуру и проверьте условие её вписанности. Затем выберите свойство из последнего столбца: для треугольника это серединные перпендикуляры, а для четырёхугольника — противоположные углы.

Таблица также помогает не смешивать два вопроса: где находится центр окружности и какие равенства выполняются для углов. Если четырёхугольник ещё не назван вписанным, сначала проверьте сумму его противоположных углов.

Разбор задач

Задача 1

У треугольника ABC стороны AB и AC равны. Найдите положение центра окружности, описанной около треугольника, относительно стороны BC. Равенство сторон означает, что треугольник равнобедренный, а BC — его основание. Нужно определить не конкретное расстояние до BC, а линию, на которой находится центр.

1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию BC, одновременно является высотой и серединным перпендикуляром к BC.
2. Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой стороне, значит, он лежит на этой линии для стороны BC.
3. Точное положение относительно самого отрезка BC зависит от углов треугольника: при остром угле A центр находится по одну сторону от BC внутри треугольника, при прямом угле A — на BC, при тупом — по другую сторону от BC.

Ответ: центр лежит на серединном перпендикуляре к BC; определить, внутри ли он треугольника, на BC или вне его, без дополнительных данных нельзя.

Задача 2

В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 112° и 68°. Определите, можно ли описать около него окружность. Эти углы противоположные, поэтому применяем признак вписанного выпуклого четырёхугольника.

1. Складываем противоположные углы: 112° + 68° = 180°.
2. Полученная сумма совпадает с необходимой суммой противоположных углов.
3. Следовательно, при условии выпуклости четырёхугольника через все его вершины можно провести одну окружность.

Ответ: да, около выпуклого четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Задача 3

ABCD — вписанный четырёхугольник. Угол A равен 73°, угол B — 2x + 15°, угол D — 3x − 8°. Углы B и D противоположные, поэтому их сумма равна 180°. Сначала найдём x, затем вычислим оба угла и проверим результат.

1. Составляем уравнение: (2x + 15°) + (3x − 8°) = 180°.
2. Упрощаем: 5x + 7 = 180, значит, 5x = 173 и x = 34,6.
3. Находим углы: ∠B = 2 · 34,6 + 15 = 84,2°, ∠D = 3 · 34,6 − 8 = 95,8°.
4. Проверяем: 84,2° + 95,8° = 180°, а углы A и C также должны быть дополнительными.

Ответ: x = 34,6; ∠B = 84,2°; ∠D = 95,8°.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Ученик считает многоугольник вписанным, если на окружности лежат только некоторые вершины. Так происходит из-за невнимательного чтения определения. Проверьте каждую вершину: все они должны принадлежать одной окружности.

Ошибка 2. Можно перепутать вписанный многоугольник и окружность, описанную около него. Это одна конфигурация, но первое название относится к многоугольнику, а второе — к окружности. Спросите себя, о каком объекте говорится в условии.

Ошибка 3. Сумму противоположных углов, равную 180°, иногда применяют к любому четырёхугольнику. Свойство дано для вписанного четырёхугольника, а как признак — для выпуклого четырёхугольника. Сначала установите, что фигура подходит для применения теоремы.

Ошибка 4. Неверно утверждать, что центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника. У тупоугольного треугольника он лежит вне, а у прямоугольного — на гипотенузе. Определяйте положение центра по типу треугольника.

Связь с другими темами

Для построения центра описанной окружности нужно знать серединный перпендикуляр и его свойство: каждая его точка равноудалена от концов отрезка. Также используется сумма углов треугольника.

Свойства вписанных многоугольников помогают решать задачи на углы, хорды, дуги и длины отрезков в окружности. Умение находить центр окружности позволяет связывать геометрические построения с вычислениями.

Эта тема подготавливает к изучению правильных многоугольников. Позже те же идеи пригодятся при построении окружностей, описанных около многоугольников.

Что запомнить

• У вписанного многоугольника все вершины лежат на одной окружности.
• Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин многоугольника.
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности.
• Около любого треугольника можно описать окружность.
• Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов 180°.
• Если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°, около него можно описать окружность.