§ 37. Многоугольники, описанные около окружности

Определения и обозначения

Описанный около окружности многоугольник — выпуклый многоугольник, все стороны которого касаются окружности. Выпуклый значит, что каждый его внутренний угол меньше 180°. Такое определение нужно, чтобы отличать фигуру, охватывающую окружность, от многоугольника, который просто касается её частью границы.

Вписанная в многоугольник окружность — окружность, касающаяся каждой его стороны. Слово «вписанная» относится к окружности, а «описанный» — к многоугольнику: это помогает не перепутать два разных расположения фигур. Если окружность касается не всех сторон, она не является вписанной в данный многоугольник.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; сторона описанного многоугольника лежит на такой прямой. Значит, для проверки нужно рассмотреть каждую сторону, а не только заметить, что окружность находится внутри фигуры. Касательные образуют границу многоугольника.

Точка касания — общая точка окружности и касательной; радиус, проведённый в неё, перпендикулярен касательной. Перпендикулярность означает, что радиус образует со стороной прямой угол. Это позволяет находить расстояние от центра до стороны и строить касательную в заданной точке окружности.

Как это устроено

Почему радиус перпендикулярен стороне? Если из центра провести перпендикуляр к касательной, то ближайшая к центру точка прямой окажется на окружности именно в точке касания. Любая другая точка касательной была бы дальше от центра, поэтому не могла бы лежать на окружности. Отсюда следует прямой угол между радиусом и стороной, а расстояние от центра до стороны равно радиусу.

Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон: кратчайшее расстояние до каждой из них измеряется перпендикуляром и равно радиусу. Точка, одинаково удалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе — луче, который делит угол пополам. Поэтому центр окружности находится на биссектрисах углов многоугольника. Их пересечение задаёт точку, из которой можно провести перпендикуляр к стороне и получить радиус.

Если из одной вершины провести к окружности две касательные, получатся два отрезка от вершины до точек касания. Они равны: радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, а сами радиусы равны как радиусы одной окружности. Получившиеся прямоугольные треугольники имеют общую гипотенузу — отрезок от вершины до центра — и равные катеты-радиусы, поэтому равны. Значит, равны и их вторые катеты, то есть отрезки касательных.

У описанного четырёхугольника стороны можно разложить на отрезки касательных от вершин. Обозначим длины таких отрезков в вершинах по порядку через x₁, x₂, x₃ и x₄: равенство касательных из одной вершины даёт каждой стороне сумму отрезков у её концов. Тогда противоположные стороны имеют длины x₁ + x₂ и x₃ + x₄, а другая пара — x₂ + x₃ и x₄ + x₁. Сложение каждой пары даёт одинаковую сумму x₁ + x₂ + x₃ + x₄, поэтому суммы противоположных сторон равны.

Чтобы проверить, можно ли вписать окружность в многоугольник, нужно установить, что существует точка внутри фигуры, равноудалённая от всех сторон; для этого проверяют пересечение биссектрис. Для четырёхугольника равенство сумм противоположных сторон — необходимое условие существования вписанной окружности, но при решении задачи полезно также проверить расположение точки и касание всех сторон. Найдя центр, опустите на сторону перпендикуляр: его длина будет радиусом, а основание — точкой касания. Так можно проверить результат или выполнить построение.

Свойства описанных около окружности многоугольников

Сначала определите, какие объекты даны: сторона и радиус, касательные из вершины или весь четырёхугольник. Затем выберите соответствующее свойство из таблицы и запишите его как равенство. Перед вычислениями проверьте, что сравниваете касательные из одной точки, а у четырёхугольника рассматриваете именно противоположные стороны.

Разбор задач

Задача 1. Нарисуйте окружность и постройте описанный около неё треугольник. Нужно добиться, чтобы каждая из трёх сторон была касательной, а окружность оставалась внутри треугольника. Удобно сначала выбрать точки касания, а затем построить в них касательные.

1. Проведите окружность и отметьте на ней три точки так, чтобы они не лежали на одной полуокружности. Например, можно расположить их равномерно по окружности.
2. Соедините каждую выбранную точку с центром радиусом. В каждой точке проведите прямую, перпендикулярную этому радиусу: по свойству касательной такая прямая касается окружности именно в отмеченной точке.
3. Продлите проведённые прямые до пересечения. Они образуют треугольник, если точки выбраны так, что касательные попарно пересекаются и заключают окружность внутри.
4. Проверьте построение: у каждой стороны должна быть ровно одна общая точка с окружностью, а эта точка должна лежать на стороне треугольника.

Ответ: треугольник, образованный тремя касательными к окружности. Перпендикулярность радиуса в каждой точке касания подтверждает, что выбранные прямые действительно касаются окружности, а не пересекают её.

Задача 2. У описанного четырёхугольника три стороны равны 5 см, 7 см и 8 см. Сторона длиной 5 см противоположна стороне длиной 8 см. Найдите четвёртую сторону. Сначала сопоставим известные стороны: в одну пару противоположных входят 5 см и 8 см, а другая пара состоит из 7 см и неизвестной стороны.

1. Обозначим неизвестную длину через x. Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.
2. Запишем равенство: 5 + 8 = 7 + x. Здесь слева стоит сумма одной пары противоположных сторон, справа — другой.
3. Вычислим: 13 = 7 + x, поэтому x = 13 − 7 = 6 см. Подстановка даёт 5 + 8 = 7 + 6, то есть 13 = 13.

Ответ: 6 см. Проверка подтверждает, что найденная длина согласуется со свойством описанного четырёхугольника.

Задача 3. В описанном четырёхугольнике окружность касается сторон, а из одной вершины длины отрезков до точек касания равны 3 см. По известным длинам остальных отрезков касательных найдите периметр. В условии не указаны сами длины остальных отрезков, поэтому численное значение периметра получить нельзя; его можно выразить через эти данные.

1. Обозначим отрезки касательных от четырёх вершин по порядку через x₁, x₂, x₃, x₄. Пусть из первой вершины они равны 3 см, значит, x₁ = 3.
2. Каждая сторона состоит из двух отрезков от соседних вершин до точек касания. Поэтому стороны по порядку равны x₁ + x₂, x₂ + x₃, x₃ + x₄ и x₄ + x₁.
3. Сложим длины четырёх сторон: P = 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ + 2x₄. Следовательно, при x₁ = 3 получаем P = 6 + 2x₂ + 2x₃ + 2x₄ см.

Ответ: P = 6 + 2x₂ + 2x₃ + 2x₄ см; для численного ответа нужны длины трёх остальных отрезков касательных. Равенство касательных позволяет выразить через каждую вершину оба прилегающих к ней отрезка, но не делает равными отрезки из разных вершин.

Типичные ошибки

Ошибка — считать многоугольник описанным, если окружность касается только одной или нескольких его сторон. Так можно решить по виду рисунка, не проверив каждую сторону. Сверьтесь с определением: у вписанной окружности должна быть общая точка с каждой стороной многоугольника.

Описанный многоугольник часто путают с вписанным, потому что в обоих названиях говорится об окружности и многоугольнике. Но в описанном окружность касается сторон, а во вписанном на окружности лежат вершины. Проверьте, что именно касается окружности: стороны или вершины.

Нельзя приравнивать любые отрезки касательных. Равны только два отрезка, проведённые к одной окружности из одной и той же точки; длины из разных вершин могут отличаться. Для проверки подпишите у каждого отрезка точку, из которой он проведён, и сравнивайте только отрезки с одинаковой начальной точкой.

Неверно считать, что радиус перпендикулярен стороне в любой её точке. Перпендикулярность относится именно к точке касания; в другой точке сторона не обязана образовывать с радиусом прямой угол. Отметьте на чертеже точку касания и проведите радиус к ней, а не к произвольному месту стороны.

Связь с другими темами

Для работы с описанными многоугольниками нужны определения окружности, радиуса, касательной и перпендикулярных прямых, а также умение строить биссектрису угла. Равенство касательных из одной точки обосновывают равенством прямоугольных треугольников: пригодятся их признаки и свойства радиусов. Эти знания помогают решать задачи на стороны и периметр описанных фигур. Они также применяются при построении окружностей, касающихся сторон углов.

Что запомнить

• Описанный около окружности многоугольник касается её каждой стороной.
• Радиус к точке касания перпендикулярен касательной.
• Отрезки касательных из одной точки равны.
• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов многоугольника.
• У описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.