"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
В треугольнике можно провести линии, которые пересекаются в особых точках. Центр тяжести связан с медианами, центр вписанной окружности — с биссектрисами, центр описанной окружности — с серединными перпендикулярами, а ортоцентр — с высотами. По виду треугольника можно определить, окажутся ли некоторые из этих точек внутри него или снаружи. Эти свойства помогают строить окружности, находить нужные точки и объяснять геометрические построения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Например, если M — середина BC, то AM — медиана треугольника ABC. Медиана нужна, чтобы делить треугольник на части и находить центр тяжести.
Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, проведённый от вершины до противоположной стороны. Биссектриса угла делит его на два равных угла. Она помогает найти центр вписанной окружности и связанное с ним равное расстояние до сторон.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°. Высоты нужны для поиска ортоцентра; иногда перпендикуляр попадает на продолжение стороны, а не на саму сторону.
Серединный перпендикуляр к стороне — прямая, проходящая через середину стороны и перпендикулярная ей. Это не обязательно отрезок внутри треугольника: прямая может выходить за его границы. Она помогает найти точку, равноудалённую от вершин, и построить центр описанной окружности.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке — центре тяжести. Почему возникает именно одна общая точка, можно увидеть через отношение частей медиан: при пересечении двух медиан третья проходит через их общую точку. Центр тяжести делит каждую медиану так, что от вершины до него расстояние вдвое больше, чем от него до середины стороны. Поэтому точка всегда лежит внутри треугольника.
Биссектрисы внутренних углов пересекаются внутри треугольника, потому что их общая точка находится на одинаковом расстоянии от сторон каждого угла. Расстояние здесь измеряют по перпендикуляру от точки до стороны. Поскольку точка пересечения равноудалена от всех трёх сторон, вокруг неё можно провести окружность, касающуюся каждой стороны. Эта точка и есть центр вписанной окружности.
Серединный перпендикуляр к стороне содержит все точки, равноудалённые от концов этой стороны. Это получается потому, что прямоугольные треугольники по обе стороны от перпендикуляра равны. Пересекая два серединных перпендикуляра, мы находим точку, равноудалённую от всех трёх вершин: равенство расстояний до концов каждой стороны обеспечивается принадлежностью соответствующим прямым. Поэтому из найденной точки можно провести окружность через все вершины.
Высоты или прямые, на которых они лежат, пересекаются в одной точке — ортоцентре. Высота должна быть перпендикулярна противоположной стороне, но для тупого угла перпендикуляр из вершины может попасть не на отрезок стороны, а на его продолжение. Поэтому при построении иногда сначала продолжают сторону. Речь всё равно идёт о высоте треугольника, так как она перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.
Положение центра описанной окружности и ортоцентра связано с углами треугольника. В остроугольном треугольнике все необходимые пересечения находятся внутри него, а при тупом угле соответствующие прямые пересекаются за пределами треугольника. В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла: стороны, образующие этот угол, являются высотами. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы, потому что она равноудалена от всех трёх вершин.
В таблице собраны линии, которые пересекаются, свойства их общей точки и её расположение. Сравнивайте сначала название линий, а затем основное свойство — так легче не перепутать точки. Строки о расположении особенно полезны при построении в разных видах треугольника.
| Точка | Какие линии пересекаются | Основное свойство | Расположение |
|---|---|---|---|
| Центр тяжести | Точка пересечения медиан | Делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины | Всегда внутри треугольника |
| Центр вписанной окружности | Точка пересечения биссектрис внутренних углов | Равноудалена от сторон; центр вписанной окружности | Всегда внутри треугольника |
| Центр описанной окружности | Точка пересечения серединных перпендикуляров | Равноудалена от вершин; центр описанной окружности | Внутри, на стороне или вне треугольника в зависимости от его вида |
| Ортоцентр | Точка пересечения высот или содержащих их прямых | В остроугольном треугольнике находится внутри, в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла | Внутри, в вершине прямого угла или вне треугольника |
Задача 1. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Какой отрезок AM проведён и какое свойство имеет точка пересечения медиан? Сначала используем данное о середине, затем определим вид отрезка. После этого применим свойство точки пересечения медиан.
Ответ: AM — медиана; точка пересечения медиан делит её в отношении 2:1, считая от A.
Задача 2. Постройте центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC и объясните, почему из найденной точки можно провести окружность через все три вершины. Сначала нужно построить линии, общие точки которых равноудалены от концов сторон. Затем проверим расстояния до всех вершин.
Ответ: O — центр описанной окружности, проведённые серединные перпендикуляры обеспечивают равенство расстояний до всех вершин.
Задача 3. В тупоугольном треугольнике ABC постройте ортоцентр и центр описанной окружности. Укажите, где они расположены. Здесь важно не перепутать два вида линий: высоты перпендикулярны сторонам, а серединные перпендикуляры проходят через середины сторон.
Ответ: ортоцентр — пересечение высот, центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров; обе точки расположены вне тупоугольного треугольника.
Ошибочно считать медианой любой отрезок, проведённый из вершины к противоположной стороне. Такое впечатление возникает потому, что направление отрезка похоже на медиану, но решающий признак — попадание именно в середину стороны. Проверьте, равны ли части противоположной стороны по обе стороны от конца отрезка.
Биссектрису иногда путают с серединным перпендикуляром: обе линии связаны с делением «пополам». Но биссектриса делит пополам угол, а серединный перпендикуляр проходит через середину стороны и образует с ней прямой угол. Для проверки посмотрите, к чему относится условие: к углу или к стороне.
Можно решить, что высота обязательно целиком проходит внутри треугольника. Это неверно: в тупоугольном треугольнике её основание может лежать на продолжении противоположной стороны. Проверяйте, перпендикулярна ли высота прямой, содержащей эту сторону, а не только отрезку внутри треугольника.
Ещё одна ошибка — помещать центр описанной окружности и ортоцентр внутрь любого треугольника. Такое правило подходит для остроугольного треугольника, но не для всех остальных: в тупоугольном обе точки внешние, а в прямоугольном ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. Сначала определите вид треугольника, затем указывайте расположение точек.
Для построения замечательных точек пригодятся знания о медиане, биссектрисе, высоте и перпендикуляре, а также умение находить середину отрезка и проводить перпендикуляр к прямой. Эти построения связаны с темой окружностей: по найденному центру можно построить окружность, вписанную в треугольник или описанную около него. Свойства общих точек линий помогают решать задачи на построение и доказывать, почему построение даёт нужный результат.
Почему центр тяжести делит медиану именно в отношении 2:1?
Это следует из свойств треугольника: три медианы пересекаются в одной точке, причём часть медианы от вершины до этой точки вдвое длиннее оставшейся части. Поэтому отношение отрезков, если считать от вершины, равно 2:1. Это свойство можно использовать, чтобы находить длины частей медианы.
Чем биссектриса отличается от серединного перпендикуляра?
Биссектриса делит угол на две равные части и в треугольнике идёт от вершины к противоположной стороне. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны под прямым углом к ней. Значит, эти линии определяются разными условиями.
Почему центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника?
Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон: перпендикулярные расстояния до обеих сторон равны. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов треугольника, поэтому расстояния от него до всех трёх сторон одинаковы. Это общее расстояние служит радиусом окружности.
Где находятся ортоцентр и центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике?
Обе точки находятся вне тупоугольного треугольника. Ортоцентр получают пересечением высот или прямых, на которых они лежат, а центр описанной окружности — пересечением серединных перпендикуляров. Для построения линий за пределами треугольника может потребоваться продолжить его стороны.
Какая замечательная точка совпадает с вершиной прямого угла?
В прямоугольном треугольнике с вершиной прямого угла совпадает ортоцентр. Две стороны, образующие этот угол, сами являются высотами, поэтому пересекаются в этой вершине.
§ 38. Замечательные точки в треугольнике
