§ 39. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия с центром O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Это означает: точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а отрезки OA и OA′ равны. По этому правилу можно построить образ любой точки.

Центр симметрии — точка O, относительно которой выполняется центральная симметрия. Именно от положения этой точки зависит, куда переместится каждая точка фигуры. Один и тот же объект может иметь разные образы при разных центрах.

Симметричные относительно O точки — точки A и A′, для которых O является серединой AA′. Если исходная точка совпадает с O, её образ — сама точка O. Это единственная точка, которая при таком преобразовании не меняет положения.

Симметричные фигуры — фигуры, каждая точка одной из которых при центральной симметрии переходит в точку другой. Поэтому для проверки симметрии недостаточно сравнить внешний вид: нужно установить соответствие всех точек и их образов.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A относительно центра O, сначала проводят прямую AO. Образ должен находиться не на том же луче, что A, а на противоположном луче: иначе центр не окажется между точкой и её образом. Затем откладывают за центром отрезок OA′, равный OA, поэтому O становится серединой AA′.

Расстояния сохраняются потому, что каждая точка перемещается на другую сторону центра на точно такое же расстояние. Для двух точек A и B их образы A′ и B′ располагаются зеркально относительно O, а направления отрезков меняются на противоположные. Поэтому длина A′B′ равна длине AB, хотя положение отрезка может измениться.

Образ фигуры строят по её характерным точкам, например по вершинам многоугольника. Для каждой такой точки выполняют построение через центр, а затем соединяют полученные образы в том же порядке. Для отрезка достаточно построить образы двух концов, потому что все промежуточные точки переходят в точки нового отрезка.

Чтобы проверить наличие центра симметрии у фигуры, выбирают предполагаемую точку O и мысленно или построением переводят фигуру относительно неё. Если образ полностью совпал с исходной фигурой, центр найден. Совпадения отдельных частей недостаточно: образ каждой точки должен принадлежать этой же фигуре.

Прямая, проходящая через центр, переходит в себя, поскольку каждая её точка остаётся на той же прямой по другую сторону O. Если прямая через центр не проходит, её образ не может пересечь исходную прямую: общая точка дала бы точку, неподвижную относительно преобразования. Поэтому такие прямые параллельны.

Центральная симметрия: что проверить и что сохраняется

Таблица помогает быстро выбрать правильное построение и проверить результат. В каждой строке сначала указано, что нужно сделать или установить, а затем — каким должен быть итог. При решении задачи полезно последовательно пройти по соответствующей строке.

Разбор задач

Задача 1

Точка A не совпадает с центром O. Постройте точку A′, симметричную A относительно O. Нужно получить не просто равенство расстояний, а расположить точки по одну прямую с центром между ними.

1. Проведите прямую через A и O.
2. На продолжении прямой за точку O выберите луч, противоположный лучу OA.
3. Отложите на нём отрезок OA′, равный OA.

Ответ: точка A′ построена, причём A, O и A′ лежат на одной прямой, O — середина AA′.

Задача 2

Постройте образ отрезка AB при центральной симметрии с центром O. Образ всего отрезка определяется образами его концов, поэтому одной точки для построения недостаточно.

1. Постройте точку A′, симметричную A относительно O.
2. Постройте точку B′, симметричную B относительно O.
3. Соедините точки A′ и B′ отрезком.

Ответ: отрезок A′B′ — образ отрезка AB; при этом A′B′ = AB.

Задача 3

Дан треугольник ABC и точка O. Постройте симметричный ему треугольник и обоснуйте равенство треугольников. Нужно перенести каждую вершину, потому что стороны треугольника определяются именно их концами.

1. Постройте A′, B′ и C′ так, чтобы O были серединами AA′, BB′ и CC′.
2. Соедините A′ с B′, B′ с C′, C′ с A′; получится треугольник A′B′C′.
3. Используйте сохранение расстояний: A′B′ = AB, B′C′ = BC, C′A′ = CA.

Ответ: треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам, так как центральная симметрия сохраняет длины всех отрезков.

Типичные ошибки

Откладывают отрезок до центра, а не за ним. Такая ошибка возникает, когда забывают, что O должно находиться между A и A′. Проверьте порядок точек на прямой: A—O—A′.

Считают достаточным равенство OA и OA′. Равные расстояния сами по себе не гарантируют симметрию: точки могут находиться в разных направлениях. Убедитесь, что A, O и A′ лежат на одной прямой и находятся по разные стороны от O.

Строят образ отрезка только по одному концу. Одной новой точки недостаточно, поскольку через неё проходит множество возможных отрезков. Постройте образы обоих концов и соедините их.

Называют фигуру симметричной из-за похожих частей. Похожий внешний вид не доказывает наличие центра симметрии. Проверьте, переходит ли каждая точка фигуры в точку этой же фигуры.

Связь с другими темами

Для построений нужны знания о середине отрезка, прямой, луче и откладывании равных отрезков. Без этого трудно правильно расположить образ точки относительно центра.

Центральная симметрия помогает изучать симметричные фигуры и свойства четырёхугольников. Позже она рассматривается как один из примеров преобразований плоскости, сохраняющих расстояния.

Что запомнить

• Центральная симметрия задаётся центром.
• Центр симметрии — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Точка, совпадающая с центром, переходит в себя.
• Центральная симметрия сохраняет длины отрезков.
• Образ прямой, не проходящей через центр, параллелен ей.
• Фигура имеет центр симметрии, если переходит сама в себя.