"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Центральная симметрия переносит каждую точку фигуры на противоположную сторону от заданного центра на такое же расстояние. Поэтому центр оказывается серединой отрезка, соединяющего точку с её образом. Преобразование сохраняет длины и углы, а его можно представить как поворот на 180° вокруг центра. Эти свойства помогают строить образы фигур и доказывать, что фигура, например параллелограмм, симметрична относительно определённой точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральная симметрия с центром O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′; точка O переходит в себя. Иначе говоря, образ располагается по другую сторону от центра на том же расстоянии. Это определение задаёт единственное положение образа любой точки.
Точка, симметричная точке A относительно центра O, — точка A′, для которой A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Если A не совпадает с O, точки A и A′ находятся на противоположных лучах. Условие позволяет построить образ и проверить правильность построения.
Фигура, симметричная фигуре F относительно центра O, — множество образов всех точек фигуры F при центральной симметрии с центром O. Значит, нужно отобразить не отдельные выбранные точки, а каждую точку фигуры. Это определение помогает понять, как строится образ целого отрезка, многоугольника или другой фигуры.
Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура переходит сама в себя. После преобразования каждой точке фигуры соответствует другая точка той же фигуры. Это понятие используют, чтобы распознавать симметричные фигуры и доказывать их свойства.
Чтобы построить образ точки A, проведи прямую AO. Затем на продолжении этой прямой за центр O отложи отрезок OA′, равный OA: точка A′ и будет образом. Построение следует из определения, потому что O должно делить AA′ пополам. Если A совпадает с O, отдельную точку строить не нужно: центр остаётся на месте.
Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния. Представь две точки A и B и их образы A′ и B′: обе точки переходят на противоположные лучи относительно O, не меняя расстояний от центра. Поэтому соединяющий их отрезок переходит в отрезок той же длины. Сохранение расстояний также объясняет, почему сохраняются величины углов: соответствующие стороны угла не меняют длину и взаимное расположение.
Если прямая не проходит через центр, её образ — параллельная ей прямая. Действительно, каждая точка прямой перемещается на отрезок, направленный через O, а все такие отрезки при переходе точек прямой дают одинаковое смещение по направлению; полученная прямая не пересекает исходную. Если же прямая проходит через O, точка и её образ остаются на этой же прямой, поэтому она переходит в себя.
Отрезок переходит в отрезок той же длины: его концы отображаются в точки, а все точки между концами — в точки между их образами. Угол переходит в равный ему угол, поскольку центральная симметрия сохраняет расстояния и направление сторон относительно друг друга. Параллельные прямые также остаются параллельными: если обе не проходят через центр, каждая переходит в параллельную себе прямую, а если прямая проходит через центр — в себя.
Центрально-симметричная фигура совмещается сама с собой при повороте на 180° вокруг своего центра. При таком повороте каждая точка оказывается на противоположной стороне от центра на прежнем расстоянии, то есть попадает в ту же точку, которую задаёт центральная симметрия. Поэтому для распознавания симметрии можно мысленно повернуть фигуру на пол-оборота и проверить, совпадёт ли она сама с собой.
| Объект или свойство | Что происходит при центральной симметрии |
|---|---|
| Точка | Переходит в точку, для которой центр является серединой отрезка между ними; сам центр остаётся на месте. |
| Прямая, проходящая через центр | Переходит в себя. |
| Прямая, не проходящая через центр | Переходит в параллельную ей прямую. |
| Длина отрезка и величина угла | Сохраняются. |
| Параллельность прямых | Сохраняется: образы параллельных прямых параллельны. |
| Фигура с центром симметрии | Переходит сама в себя. |
Пользуйся таблицей, чтобы быстро определить, каким станет объект после преобразования. Для построения сначала найди образы точек, а затем примени сведения о прямых и отрезках. При проверке симметрии фигуры выясни, остаются ли все образы её точек внутри неё.
Условие. Даны точка O и точка A, не совпадающая с O. Постройте точку, симметричную A относительно O. Надо определить не только расстояние до образа, но и его положение относительно центра.
Проведи прямую через A и O. Образ должен лежать на этой прямой, иначе точки A, O и A′ не окажутся на одной линии.
Продолжи прямую за точку O в сторону, противоположную A. На этом луче отложи отрезок OA′, равный OA.
Проверь построение: O находится между A и A′, а расстояния OA и OA′ равны. Следовательно, O — середина AA′.
Ответ: точка A′ на продолжении AO за O, для которой OA′ = OA.
Условие. Постройте образ треугольника ABC при центральной симметрии с центром O и объясните, почему полученный треугольник равен исходному. Удобнее сначала работать с вершинами: стороны треугольника соединяют именно их. Равенство треугольников затем следует из сохранения расстояний.
Проведи прямые AO, BO и CO. На противоположных от центра лучах построй точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB, OC′ = OC.
Соедини A′, B′ и C′ отрезками в том же порядке. Полученный треугольник A′B′C′ является образом, потому что его вершины — образы вершин исходного треугольника.
Центральная симметрия сохраняет длины, поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA. По трём сторонам треугольники ABC и A′B′C′ равны.
Ответ: образ — треугольник A′B′C′, равный ABC.
Условие. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Обозначим параллелограмм ABCD, а точку пересечения его диагоналей — O. Нужно показать, что при симметрии с центром O противоположные вершины переходят друг в друга.
В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому O — середина AC и одновременно середина BD.
Из середины AC следует, что A и C симметричны относительно O; из середины BD — что симметричны B и D. Значит, все четыре вершины переходят в вершины того же параллелограмма.
Стороны переходят в противоположные стороны: например, AB — в CD. Каждая точка стороны также переходит на соответствующую противоположную сторону, поэтому весь параллелограмм переходит в себя.
Ответ: точка пересечения диагоналей O является центром симметрии параллелограмма ABCD.
Первая ошибка — откладывать равное расстояние от A, а не от центра O. Тогда построенная точка может оказаться не симметричной A: центр обязан быть серединой отрезка между точкой и образом. Ошибку допускают, когда ориентируются на длину, забывая о середине. Проверь себя: точки A и A′ должны быть по разные стороны от O, а OA = OA′.
Вторая ошибка — считать, что образ точки обязательно лежит на любой исходной прямой. Это верно только для прямой, проходящей через центр: при построении образа точки прямая должна проходить через неё и O. Путаница возникает из-за того, что точку соединяют линией с центром. Проверь, лежит ли O на заданной прямой; если нет, образ точки на этой прямой искать не нужно.
Третья ошибка — путать центральную симметрию с осевой. При осевой симметрии точку отражают относительно прямой-оси, а при центральной — относительно заданной точки, служащей серединой отрезка между точкой и образом. Смешение возможно потому, что обе операции называют симметрией. Перед построением проверь, что задано: точка-центр или прямая-ось.
Четвёртая ошибка — объявлять фигуру центрально-симметричной, если в ней попарно отображается лишь часть точек. Для этого свойства должна переходить сама в себя вся фигура, а не только несколько вершин или отдельный участок. Такую ошибку допускают, проверив лишь очевидные пары точек. Проверь соответствие для всей фигуры: образ каждой её точки должен принадлежать исходной фигуре.
Для построений понадобятся умения находить середину отрезка, проводить прямую через две точки и откладывать равные отрезки. Центральная симметрия — частный случай движения плоскости; её также можно представить как поворот на 180° вокруг центра. Эти связи помогают применять свойства преобразования при решении задач на фигуры. Тема пригодится при изучении симметрии, параллелограмма и других преобразований геометрических фигур.
При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
Сам центр симметрии переходит в себя.
Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы.
Прямая через центр переходит в себя, а прямая вне центра — в параллельную.
Фигура имеет центр симметрии, если переходит сама в себя.
Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг центра.
Как построить точку, симметричную данной относительно центра?
Проведи прямую через данную точку A и центр O. На продолжении прямой за O отметь точку A′ так, чтобы OA′ = OA: тогда O будет серединой AA′.
Может ли центр симметрии не принадлежать фигуре?
Да. Например, центр симметрии окружности — её центр, а эта точка не принадлежит самой окружности. Для симметрии важно, чтобы каждой точке фигуры соответствовала точка фигуры по другую сторону от центра.
Чем центральная симметрия отличается от осевой?
Для центральной симметрии задают точку — центр, а для осевой симметрии задают прямую — ось. При центральной симметрии точка и её образ лежат на одной прямой с центром, который является серединой отрезка между ними.
Какие свойства сохраняются при центральной симметрии?
Сохраняются расстояния между точками и величины углов, поэтому образ отрезка равен исходному отрезку. Также сохраняется параллельность прямых.
Как проверить, что точка является центром симметрии фигуры?
Для каждой точки фигуры построй точку, симметричную ей относительно предполагаемого центра. Если все полученные точки принадлежат исходной фигуре, фигура переходит сама в себя и точка является её центром симметрии.
3.1. Центральная симметрия
