§ 10. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — это преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Иначе говоря, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а расстояния OA и OA′ равны. Это определение задаёт точное правило, по которому можно найти образ любой точки.

Точка O называется центром симметрии. Она определяет, относительно чего выполняется преобразование: если поменять центр, обычно изменятся и положения образов. Поэтому, строя симметричную фигуру, важно каждый раз использовать один и тот же центр.

Точки A и A′ называют симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA′. Это значит, что центр находится между точками и одинаково удалён от каждой. Если A совпадает с O, то её образом будет сама точка O: она не перемещается.

Фигура, симметричная данной относительно точки O, — это фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Например, у треугольника образами вершин будут три точки, которые затем соединяют отрезками. Это определение позволяет перейти от построения одной точки к преобразованию целой фигуры.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную A относительно O, сначала проводят прямую AO. Затем за точкой O откладывают отрезок OA′, равный OA. Такой порядок нужен потому, что центр должен лежать между исходной точкой и её образом; если отложить равный отрезок в ту же сторону от O, середины AA′ не получится. Если A = O, строить продолжение не нужно: образ уже известен.

Почему именно середина отрезка задаёт центральную симметрию? Положение середины одновременно определяет и направление, и расстояние: от A нужно пройти через O и продолжить движение на столько же, сколько осталось до центра. Поэтому нельзя ограничиться одним равенством OA = OA′ — точки должны ещё лежать на одной прямой, а O должен находиться между ними. Вместе эти условия однозначно задают образ точки.

Чтобы построить образ фигуры, находят образы её характерных точек. Для многоугольника это вершины: каждую строят относительно того же центра, а полученные точки соединяют в том же порядке, что и исходные. У окружности достаточно построить образ её центра и оставить прежний радиус, потому что все расстояния при преобразовании сохраняются. Так получают всю окружность, а не только её центр.

Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы. Для пары точек A и B их образы A′ и B′ смещены согласованно: отрезки AA′ и BB′ параллельны и равны, а соединяющий образы отрезок A′B′ равен AB. Поэтому фигура не растягивается и не сжимается, а её углы не меняются. Образ сохраняет размеры и форму исходной фигуры.

Прямая, проходящая через центр O, переходит в себя: для каждой её точки образ тоже лежит на этой прямой. Если прямая не проходит через O, её точки переходят на другую прямую, параллельную исходной. Это объясняется тем, что все точки смещаются в одном направлении на согласованные расстояния; направление прямой при таком преобразовании не меняется.

Свойства центральной симметрии

В таблице собраны свойства, которые удобно проверять при построении и решении задач. Сначала определи, что именно преобразуется — точка, отрезок, прямая или фигура, — а затем найди соответствующую строку. Для проверки рисунка особенно полезно убедиться, что центр является серединой отрезков, соединяющих точки с образами.

Разбор задач

Задача 1

Точки A и O заданы на чертеже. Построить точку A′, симметричную A относительно O. Нужно расположить её так, чтобы преобразование выполняло условие о середине, а не только о равных расстояниях.

1. Проведём прямую через A и O.
2. Продолжим её за O в сторону, противоположную точке A.
3. Отложим на продолжении отрезок OA′, равный OA.
4. Проверим, что O лежит между A и A′ и делит AA′ пополам.

Равенство отрезков откладываем именно от центра, поскольку расстояние от образа до O должно совпадать с расстоянием от A до O. Противоположная сторона прямой нужна, чтобы O оказался между точками. Ответ: построенная таким образом точка A′ симметрична A относительно O.

Задача 2

Даны вершины треугольника ABC и центр O. Требуется построить треугольник, симметричный ABC относительно O. Каждая вершина должна перейти в свою точку-образ, иначе полученные стороны не будут соответствовать исходным.

1. Проведём прямую AO и построим A′ так, чтобы O была серединой AA′.
2. Так же построим B′ на прямой BO и C′ на прямой CO.
3. Соединим A′, B′ и C′ в том же порядке, что и вершины исходного треугольника.
4. Проверим для каждой пары, что точка O лежит между вершиной и её образом и расстояния до O равны.

Один и тот же центр используют для всех трёх построений, потому что преобразуется весь треугольник относительно O. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон и углов. Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC при центральной симметрии с центром O.

Задача 3

Дан отрезок AB и его образ A′B′ при центральной симметрии. Нужно найти центр и обосновать равенство отрезков. Поскольку центр является серединой отрезка между каждой точкой и её образом, именно эти пары помогут его обнаружить.

1. Построим середину отрезка AA′.
2. Построим середину отрезка BB′.
3. Проверим, что середины совпали; общая точка и есть центр O.
4. Применим сохранение расстояний при центральной симметрии: соответствующие отрезки равны.

Если середины совпали, найденная точка равноудалена от A и A′, а также от B и B′ и лежит на соответствующих прямых. Это подтверждает, что пары точек симметричны относительно одного центра. Ответ: центр — общая середина AA′ и BB′, а AB = A′B′.

Типичные ошибки

Ошибка: откладывать образ на том же луче, что и исходная точка. Так расстояния от центра могут оказаться равны, но центр не будет между точками, поэтому условие симметрии нарушится. Такое случается, если следить только за длиной отрезка и не учитывать его направление. Проверь себя: при A ≠ O точки A и A′ должны находиться по разные стороны от O.

Ошибка: считать достаточным равенство OA и OA′. Равные расстояния до O ещё не гарантируют, что точки лежат на одной прямой и что O является серединой AA′. Обычно забывают проверить расположение точек. Проведи прямую через A и A′: центр должен лежать на ней и между концами отрезка.

Ошибка: строить образ фигуры, не преобразуя все её характерные точки. Например, если найти образ только одной вершины треугольника, остальные вершины всё ещё не определены. Путаница возникает, когда принимают образ части фигуры за образ всей фигуры. Найди образ каждой вершины или центра окружности и применяй один и тот же центр симметрии.

Ошибка: утверждать, что любая прямая переходит в себя. Это верно только для прямой, проходящей через центр; остальные прямые переходят в параллельные. Ошибка появляется, если переносить свойство одной прямой на все остальные. Проверь, лежит ли O на исходной прямой: если нет, образная прямая параллельна ей, но не совпадает с ней.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся умения находить середину отрезка, проводить прямую через две точки, работать с лучом и откладывать равные отрезки. Эти действия позволяют точно разместить образ по другую сторону центра. Центральная симметрия также помогает распознавать и исследовать симметричные фигуры. Позже она пригодится при изучении параллелограмма: его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, что связано с симметрией относительно этой точки.

Что запомнить

• Центральная симметрия задаётся точкой — её центром.
• Центр симметрии — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Образ точки лежит на прямой, проходящей через точку и центр.
• Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Прямая через центр переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную.