§ 11. Параллельные прямые, пересеченные третьей прямой

Определения и обозначения

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Она образует углы у каждого пересечения, поэтому помогает сравнивать положение этих прямых. В задачах секущую обычно мысленно отличают от двух прямых, которые она пересекает.

Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут находиться сверху от своей прямой и справа от секущей. Это название нужно, чтобы выделить пары углов, которые равны, если прямые параллельны.

Внутренние накрест лежащие углы — углы между двумя прямыми, лежащие по разные стороны секущей. Сначала важно найти область между прямыми, а затем проверить, что выбранные углы оказались по разные стороны секущей. Такая пара позволяет проверить параллельность прямых.

Внутренние односторонние углы — углы между двумя прямыми, лежащие по одну сторону секущей. В отличие от накрест лежащих, они находятся с одной стороны секущей. Их используют, когда проверяют, равна ли сумма углов 180°.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые в разных точках, возле каждого пересечения появляются четыре угла — всего восемь. Чтобы не перепутать их, сначала определяют, какие углы лежат между двумя прямыми, а затем смотрят на их расположение относительно секущей. Так углы объединяют в соответственные, внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние пары. Это расположение, а не величина, определяет название пары.

Если прямые параллельны, соответственные углы равны. Причину можно увидеть через накрест лежащие углы: соответствующий им угол равен накрест лежащему при параллельных прямых, а затем используется равенство вертикальных углов. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат друг напротив друга. Поэтому равенство получается не из одного только похожего положения, а из свойств углов при пересечениях.

При параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны, потому что секущая пересекает параллельные прямые одинаковым образом. Внутренние односторонние углы, напротив, не обязаны быть равными: их сумма составляет 180°. Это следует из того, что один из углов можно связать с другим через равенство углов, а вместе они образуют смежную пару. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга, поэтому их сумма равна 180°.

Эти свойства можно применять и в обратном направлении. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны; то же верно, если равны внутренние накрест лежащие углы. Для обоснования таких признаков используют свойства вертикальных и смежных углов: равенство одной пары позволяет получить равенство подходящей другой пары. Важно убедиться, что сравниваются именно соответственные или накрест лежащие углы.

Параллельность можно установить и по внутренним односторонним углам: если их сумма равна 180°, прямые параллельны. Для этого условие суммы связывают со свойством смежных углов: подходящие углы оказываются равными, и выполняется признак параллельности. Поэтому, если величины углов заданы формулами, сначала составляют уравнение для суммы 180°, а после нахождения величин делают вывод о прямых.

Углы при пересечении двух прямых секущей

В таблице собраны основные свойства и признаки. В средней колонке указано, что верно, когда прямые уже параллельны, а в правой — какое условие позволяет доказать параллельность. Сначала определите тип пары по её положению, затем выбирайте соответствующую строку.

Разбор задач

Задача 1

Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из соответственных углов равен 68°. Найдите второй. Нужно узнать не угол рядом с данным, а тот, который занимает такое же положение у другого пересечения. Поскольку прямые параллельны, действует свойство соответственных углов.

1. Определяем пару: углы соответственные.
2. При параллельных прямых соответственные углы равны, поэтому второй угол равен первому.
3. Подставляем известную величину: 68°.

Ответ: 68°.

Задача 2

Две прямые пересечены секущей. Внутренние накрест лежащие углы равны 112° и 112°. Докажите, что прямые параллельны. Здесь требуется не найти неизвестный угол, а подтвердить условие признака параллельности. Из условия уже известны и расположение пары, и равенство её углов.

1. Проверяем, что углы внутренние: они находятся между двумя прямыми.
2. Уточняем, что они лежат по разные стороны секущей, то есть являются внутренними накрест лежащими.
3. Сравниваем величины: 112° = 112°. По признаку равенства внутренних накрест лежащих углов прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

Задача 3

Внутренние односторонние углы равны 3x + 20° и 5x°. Найдите x и докажите, что прямые параллельны. Односторонние углы должны составлять 180°, если прямые параллельны, и это же условие служит признаком параллельности. Поэтому сначала составим уравнение для суммы данных выражений. Затем проверим, что полученные величины действительно дают 180°.

1. Записываем условие для внутренних односторонних углов: (3x + 20°) + 5x° = 180°.
2. Собираем слагаемые: 8x + 20 = 180, откуда 8x = 160 и x = 20.
3. Находим углы: 3 · 20 + 20 = 80°, а 5 · 20 = 100°. Их сумма равна 180°, поэтому по признаку прямые параллельны.

Ответ: x = 20; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Путать соответственные и накрест лежащие углы. Их легко смешать, потому что обе пары образуются возле двух точек пересечения. Проверяйте положение относительно обеих прямых и секущей: у соответственных оно одинаковое, а внутренние накрест лежащие находятся между прямыми по разные стороны секущей.

Считать, что любые два равных угла доказывают параллельность. Равенство может относиться, например, к вертикальным углам при одном пересечении и ничего не говорить о положении двух прямых. Уточните, какую именно пару сравниваете, и проверьте, входит ли она в признак параллельности.

Принимать внутренние односторонние углы за равные. Такое условие часто переносят по привычке с накрест лежащих углов. Для односторонних углов нужно проверять сумму: при параллельных прямых она равна 180°. Перечитайте названия пары и сложите величины.

Называть углы внутренними, не проверив их положение. Внутренними являются только углы, лежащие в области между двумя прямыми; остальные — внешние. Мысленно выделите эту область и убедитесь, что оба выбранных угла находятся внутри неё.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства вертикальных и смежных углов: вертикальные углы равны, а смежные в сумме составляют 180°. Они помогают объяснить свойства пар, образованных секущей. Признаки параллельности используют в задачах на доказательство и при поиске углов в треугольнике, в том числе при изучении их суммы.

Аксиома параллельных прямых уточняет, сколько прямых можно провести через точку вне данной прямой параллельно ей: ровно одну. Она помогает понять, почему параллельные прямые занимают строго определённое положение. Свойства углов при секущей дают способы распознать и доказать это положение.

Что запомнить

• Секущая пересекает две прямые в разных точках.
• При параллельных прямых соответственные углы равны.
• При параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внутренние односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°.
• Равенство соответственных углов — признак параллельности.
• Равенство внутренних накрест лежащих углов — признак параллельности.
• Сумма внутренних односторонних углов 180° — признак параллельности.