§ 12. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника. Классификация треугольников

Определения и обозначения

Сумма углов треугольника — утверждение, что три его внутренних угла вместе составляют 180°. Внутренние углы находятся внутри фигуры, между её сторонами. Это правило позволяет найти неизвестный угол, если известны два других, и проверять результаты решения.

Внешний угол треугольника — угол, образованный одной стороной и продолжением соседней стороны. Он находится снаружи треугольника у одной из его вершин. Внешний угол помогает связать между собой внутренние углы и решать задачи, где дан угол за пределами фигуры.

По величине углов треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Название зависит от того, все ли углы меньше 90°, есть ли угол ровно 90° или один угол больше 90°. Эта классификация помогает сразу заметить свойства фигуры и исключить невозможные варианты.

По количеству равных сторон треугольники бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними. У равностороннего все три стороны одинаковы, у равнобедренного равны две, а у разностороннего равных сторон нет. Такое деление нужно, чтобы использовать дополнительные свойства равных сторон и углов.

Как это устроено

Чтобы доказать теорему о сумме углов, через вершину треугольника проводят вспомогательную прямую, параллельную противоположной стороне. Тогда углы между этой прямой и двумя сторонами треугольника равны углам при основании: это следует из свойства накрест лежащих углов при параллельных прямых. Вместе с углом у вершины они образуют развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен 180°, поэтому такой же является сумма трёх внутренних углов треугольника.

Если известны два угла, третий находят вычитанием их суммы из 180°. Например, для углов α, β и γ выполняется α + β + γ = 180°, откуда γ = 180° − α − β. Именно 180°, а не 360°, берут потому, что речь идёт о трёх углах треугольника, составляющих развёрнутый угол в доказательстве. Получившийся ответ можно проверить: сумма всех трёх величин должна снова дать 180°.

Продолжение одной стороны создаёт внешний угол, смежный с внутренним углом при той же вершине. Смежные углы в сумме дают 180°, как и все три внутренних угла треугольника. Если из 180° вычесть общий для этих равенств угол, останется равенство: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые с ним не смежны. Поэтому внешний угол нельзя приравнивать только к одному из этих углов.

Вид треугольника по углам определяют сравнением каждого угла с 90°. Два прямых угла вместе уже дали бы 180°, и для третьего угла места не осталось бы; два тупых дали бы больше 180°. Значит, прямой или тупой угол может быть только один, а все три угла остроугольного треугольника меньше 90°. При известных двух углах сначала вычисляют третий, а уже потом называют вид треугольника.

При классификации по сторонам сравнивают длины сторон: три равные означают равносторонний треугольник, две равные — равнобедренный, ни одной пары равных — разносторонний. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: равным сторонам противолежат равные углы. У равностороннего треугольника равны и все стороны, и все углы; поскольку их сумма равна 180°, каждый угол равен 60°. Вид по сторонам и вид по углам — разные характеристики одной и той же фигуры.

Классификация треугольников

Сначала определите, по какому признаку требуется назвать треугольник: по углам или по сторонам. Затем сравните углы с 90° либо установите, какие стороны равны. Один треугольник может получить по одному названию из каждой группы.

Разбор задач

Задача 1. Два угла треугольника равны 47° и 68°. Найдите третий угол и определите вид треугольника по углам. Сначала используем сумму углов, потому что она связывает все три неизвестные или известные величины. Затем сравним каждый угол с 90°.

1. Сложим известные углы: 47° + 68° = 115°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 115° = 65°. Это третий угол.
3. Все углы — 47°, 68° и 65° — меньше 90°, значит, треугольник остроугольный.

Ответ: третий угол равен 65°, треугольник остроугольный. Проверка: 47° + 68° + 65° = 180°. Так мы убеждаемся и в правильности вычисления, и в том, что классификация сделана по всем трём углам.

Задача 2. Внешний угол треугольника равен 124°, а один из удалённых внутренних углов равен 57°. Найдите второй удалённый внутренний угол. Удалёнными здесь называют внутренние углы, которые не смежны с данным внешним. По теореме внешний угол равен сумме именно этих двух углов.

1. Обозначим второй удалённый внутренний угол через x.
2. Запишем равенство: 124° = 57° + x, потому что внешний угол складывается из двух удалённых внутренних углов.
3. Найдём x: 124° − 57° = 67°.

Ответ: второй удалённый внутренний угол равен 67°. Проверка: 57° + 67° = 124°, то есть сумма найденных внутренних углов совпадает с величиной внешнего. Здесь не нужно вычитать из 180°: дан внешний угол, а не сумма трёх внутренних.

Задача 3. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 38°. Найдите углы при основании и определите вид треугольника по углам. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, поэтому обозначим каждый буквой x. Сумма этих двух углов и угла при вершине должна составить 180°.

1. Запишем уравнение: x + x + 38° = 180°, или 2x + 38° = 180°.
2. Вычтем 38°: 2x = 142°. Разделим обе части на 2: x = 71°.
3. Углы треугольника равны 38°, 71° и 71°. Каждый меньше 90°, значит, треугольник остроугольный.

Ответ: углы при основании равны 71° и 71°; треугольник остроугольный. Равенство углов использовано из свойства равнобедренного треугольника, а итоговый вид определён по величинам всех углов. Проверка суммы: 38° + 71° + 71° = 180°.

Типичные ошибки

Иногда считают, что сумма углов треугольника может отличаться от 180°. Такое возникает, если забыть, что рассматривается плоская геометрия и теорема относится к обычным плоским треугольникам. Для школьных задач применяйте равенство α + β + γ = 180° и проверяйте по нему найденные значения.

Ещё одна ошибка — вычитать известные углы из 360°. Вероятно, это число путают с полным оборотом, но углы треугольника образуют не полный, а развёрнутый угол. Чтобы проверить себя, сложите три ответа: если получилось 360°, значит, выбрано неверное правило; сумма должна быть 180°.

Внешний угол иногда считают равным одному внутреннему углу. Путают его со смежным внутренним углом: эти два угла действительно связаны, но их сумма равна 180°. Правильное правило для внешнего угла говорит о сумме двух внутренних углов, не смежных с ним; проверьте, какие именно углы стоят в равенстве.

Классификацию по сторонам не следует смешивать с классификацией по углам. Например, из того, что треугольник равнобедренный, не следует, что он обязательно остроугольный: он может быть и прямоугольным, и тупоугольным. Проверяйте признаки отдельно: стороны сравнивайте по длинам, а углы — по величине относительно 90°.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о видах углов и смежных углах: они объясняют, почему внешний угол связан с внутренним. При доказательстве суммы углов используются признаки параллельности прямых и равенство углов при параллельных прямых. Полезно также знать свойства равнобедренного треугольника, в частности равенство углов при основании.

Новые свойства применяются в задачах на поиск неизвестных углов и в доказательствах о треугольниках. Они пригодятся при дальнейшем изучении прямоугольных треугольников, когда к их классификации добавятся специальные соотношения. Умение определить вид фигуры по углам и сторонам помогает выбрать подходящий способ решения геометрической задачи.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°.
• В треугольнике может быть только один прямой или один тупой угол.
• Остроугольный треугольник имеет три острых угла, прямоугольный — один прямой, тупоугольный — один тупой.
• Равносторонний треугольник одновременно является равнобедренным.
• Треугольники классифицируют отдельно по углам и по сторонам.