§ 13. Признак параллельности прямых

Определения и обозначения

Признак параллельности прямых — это условие, по которому можно сделать вывод, что две прямые параллельны. Например, таким условием может быть равенство определённой пары углов. Признаки нужны, чтобы доказать параллельность по известным данным, а не определять её на глаз по чертежу.

Накрест лежащие углы образуются, когда секущая пересекает две прямые: они лежат между прямыми и по разные стороны секущей. Их удобно искать как внутреннюю пару, расположенную по диагонали относительно точек пересечения. Эта пара используется в признаке: если такие углы равны, прямые параллельны.

Соответственные углы находятся у двух точек пересечения секущей и прямых в одинаковых угловых позициях: например, оба сверху от своих прямых и справа от секущей. Они могут быть как внутренними, так и внешними. Определение положения помогает выбрать этот признак, когда на чертеже отмечены углы в совпадающих позициях.

Односторонние углы лежат между двумя прямыми и по одну сторону секущей. Это пара внутренних углов, расположенных на одной стороне от пересекающей прямой. Для признака сравнивают не сами углы на равенство, а их сумму: она должна составлять 180°.

Как это устроено

Представьте две прямые, которые пересекает третья прямая — секущая. В точках пересечения возникают углы, и положение каждой пары можно описать относительно двух прямых и секущей. Если прямые параллельны, направление одной не меняется относительно другой, поэтому углы, занявшие определённые позиции, связаны между собой. Именно эти связи превращают измерение углов в способ доказать параллельность.

Если накрест лежащие углы равны, две прямые параллельны. Причина в том, что при параллельных прямых эта внутренняя пара, расположенная по разные стороны секущей, имеет равные величины; признак использует обратное рассуждение. Если бы прямые не были параллельны, равенство такой пары не выполнялось бы. Поэтому достаточно установить, что углы действительно накрест лежащие, и подтвердить их равенство.

Для соответственных углов действует такой же признак: их равенство означает, что прямые параллельны. Узнать эту пару помогают одинаковые позиции у двух пересечений: например, оба угла расположены над прямыми и слева от секущей. При параллельных прямых углы в совпадающих позициях равны, а обратное утверждение позволяет установить параллельность. Важно сопоставлять именно одинаковые позиции, а не любые два угла.

Если односторонние внутренние углы в сумме дают 180°, прямые параллельны. Здесь требуется сумма, потому что при параллельных прямых эта пара расположена внутри них и по одну сторону секущей, а её углы дополняют друг друга до развёрнутого угла. Равенство каждого угла другому не является нужным условием: они могут быть разными, например 70° и 110°. Проверяют именно сложение величин.

В доказательстве сначала определяют, какие две прямые требуется признать параллельными, и находят секущую, пересекающую обе. Затем выбирают одну пару углов, которую можно уверенно распознать как накрест лежащую, соответственную или одностороннюю. По данным задачи проверяют равенство или сумму 180°, после чего называют подходящий признак и записывают вывод. Без указания вида пары обоснование остаётся неполным.

Признаки параллельности прямых

Сначала найдите в таблице подходящий вид пары, а затем сопоставьте условие с данными задачи. Для равных углов важна их позиция: одинаковое число у произвольных углов ещё не доказывает параллельность. Для односторонних углов складывают величины и проверяют, получается ли 180°.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересечены секущей. Накрест лежащие углы равны 65°. Докажите, что прямые параллельны. Здесь величины уже совпадают, поэтому нужно проверить, соответствует ли названная пара нужному признаку. Условие прямо сообщает, что углы накрест лежащие.

1. Определяем, что рассматриваются две прямые и секущая, пересекающая обе.
2. По условию выбираем накрест лежащую пару; оба угла равны 65°, значит, они равны между собой.
3. Применяем признак по накрест лежащим углам: если такие углы равны, прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны. Число 65° подтверждает равенство пары, а решающим является её положение как накрест лежащей. Поэтому вывод основан на признаке, а не на внешнем виде чертежа.

Задача 2. Соответственные углы при пересечении двух прямых секущей равны, один из них равен 112°. Докажите параллельность прямых и найдите второй угол. Указано, что углы соответственные, а значит, речь идёт о совпадающих позициях. Данное равенство позволяет использовать признак и установить величину второго угла.

1. Так как соответственные углы равны, применяем соответствующий признак и заключаем, что прямые параллельны.
2. По условию один угол равен 112°, а второй ему равен.
3. Записываем величину второго угла: 112°.

Ответ: прямые параллельны, второй угол равен 112°. Для доказательства использовано равенство соответственных углов. Для нахождения величины достаточно применить это же равенство.

Задача 3. Односторонние углы равны 3x + 15° и 5x + 5°. Найдите x и докажите параллельность прямых. По условию углы односторонние, поэтому для признака их сумма должна быть 180°. Сначала составим уравнение, а затем проверим, что найденные значения углов действительно дают нужную сумму.

1. Складываем выражения: (3x + 15) + (5x + 5) = 180.
2. Упрощаем: 8x + 20 = 180, откуда 8x = 160 и x = 20.
3. Находим углы: 3 · 20 + 15 = 75°, 5 · 20 + 5 = 105°. Их сумма равна 180°.
4. Применяем признак по односторонним углам и заключаем, что прямые параллельны.

Ответ: x = 20, прямые параллельны. Проверка даёт углы 75° и 105°, их сумма действительно равна 180°. Следовательно, условие признака выполнено.

Типичные ошибки

Можно перепутать накрест лежащие и соответственные углы, потому что обе пары образуются у двух пересечений секущей с прямыми. Ошибка возникает, если смотреть только на то, что углы расположены возле секущей, и не учитывать внутреннюю область. Проверьте отдельно: накрест лежащие находятся внутри прямых по разные стороны секущей, а соответственные занимают одинаковые позиции.

Неверно считать, что односторонние углы должны быть равны. Их могут принять за пару из признака равных углов, но для односторонних требуется сумма 180°. Чтобы проверить себя, сложите величины: например, 70° и 110° подходят, хотя не равны.

Не переставляйте условие и вывод без доказательства: признак говорит, что по равенству нужных углов можно заключить о параллельности. Само по себе утверждение о параллельных прямых не следует из произвольной перестановки фраз. Проверьте, что в решении сначала указано данное условие, затем назван признак, а после него записан вывод.

Равенство произвольных двух углов не доказывает параллельность. Эту ошибку допускают, когда замечают одинаковые числа, но не проверяют расположение углов. Перед выводом установите, что пара накрест лежащая или соответственная; если она односторонняя, проверьте сумму 180°.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно уметь обозначать углы и находить их величины. Помогают также свойства смежных углов, сумма которых равна 180°, и вертикальных углов, которые равны: с их помощью можно получить недостающие данные. Освоенные признаки затем используют в доказательствах и задачах о параллельных прямых. Поэтому важно не только вычислить угол, но и обосновать, почему выбранная пара подходит.

Что запомнить

• Равенство накрест лежащих углов — признак параллельности прямых.
• Равенство соответственных углов — признак параллельности прямых.
• Сумма односторонних углов, равная 180°, — признак параллельности прямых.
• Перед применением признака нужно точно определить секущую и пару углов.
• Признак позволяет по условию об углах сделать вывод о параллельности прямых.