"Геометрия", Погорелов А.В.
Чтобы доказать, что две прямые параллельны, не обязательно проверять, пересекутся ли они. Достаточно установить определённое соотношение углов, образованных секущей: например, равенство внутренних накрест лежащих углов. Это соотношение называется признаком параллельности прямых. Оно помогает обосновывать выводы по чертежу, находить неизвестные углы и решать задачи, связанные с параллельными прямыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Их параллельность обозначают так: a ∥ b. Это обозначение позволяет кратко записать результат доказательства и показать, какие именно прямые рассматриваются.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. В местах пересечения образуются углы, и их расположение помогает проверить, параллельны ли пересечённые прямые. Поэтому прежде всего на чертеже нужно определить секущую.
Внутренние накрест лежащие углы находятся между двумя прямыми и по разные стороны секущей. Они образованы у разных точек пересечения. Эта пара важна потому, что её равенство служит условием для доказательства параллельности.
Признак параллельности прямых — утверждение, позволяющее по определённому соотношению углов заключить, что прямые параллельны. Например, если внутренние накрест лежащие углы равны, то пересечённые секущей прямые параллельны. Признак нужен, когда требуется обосновать такой вывод, а не просто предположить его по чертежу.
Представим две прямые, пересечённые секущей. Из восьми образовавшихся углов выбираем те, которые лежат между прямыми и по разные стороны секущей: это внутренние накрест лежащие углы. Признак утверждает: если эти углы равны, то две прямые параллельны. Речь идёт именно о такой паре, а не о любых двух равных углах на рисунке.
Идею доказательства можно понять через прямую, проведённую через точку пересечения секущей с одной из данных прямых параллельно другой прямой. При параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны, поэтому новая прямая образует с секущей угол, равный углу у второй данной прямой. Значит, она должна совпасть с этой прямой: через заданную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Так равенство углов приводит к совпадению прямых и доказывает нужный вывод.
Равные накрест лежащие углы задают одинаковое направление обеих прямых относительно секущей. Если бы прямые пересеклись, вместе с секущей образовался бы треугольник, а его углы не могли бы сохранять это равенство: один из них оказался бы внешним и был бы больше внутреннего. Поэтому заданное равенство исключает пересечение; именно так проявляется параллельность.
При решении задачи сначала отмечают две прямые и секущую, а затем находят нужные внутренние углы по их положению. После этого проверяют, равны ли они: равенство может быть дано в условии или получено вычислением. В записи доказательства указывают, какие именно углы равны, и завершают: по признаку параллельности прямых a ∥ b. Такой порядок не позволяет заменить доказательство догадкой по виду чертежа.
Иногда условие дано не для накрест лежащих углов. Если равны соответственные углы, то один из них равен углу, вертикальному к другому соответственному; вертикальные углы равны, и можно получить равенство накрест лежащих углов. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, один из них равен смежному с другим; эта пара смежных углов образует развёрнутый угол. После такого перехода применяют признак равенства накрест лежащих углов.
| Расположение и соотношение углов | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Внутренние накрест лежащие углы | Равны | Прямые параллельны |
| Соответственные углы | Равны | Прямые параллельны |
| Внутренние односторонние углы | В сумме 180° | Прямые параллельны |
Сначала определите по расположению, какая пара углов дана, и только потом сравнивайте их величины. Для соответственных углов равенство связано с признаком через равенство вертикальных углов; для односторонних сумма 180° сводится к равенству накрест лежащих. Таблица помогает выбрать подходящий способ доказательства.
При пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны 58°. Докажите, что прямые параллельны. Здесь не нужно находить другие углы: условие уже совпадает с признаком. Достаточно назвать углы и сформулировать вывод.
Ответ: прямые параллельны.
Один внутренний накрест лежащий угол равен 73°, другой выражается как 2x + 13°. Нужно найти x и доказать параллельность. Сначала используем то, что для применения признака эти углы должны быть равны. Затем подставим полученное значение и проверим, что условие действительно выполнено.
Ответ: x = 30; прямые параллельны.
Две прямые пересечены секущей; внутренние односторонние углы равны 112° и 68°. Докажем параллельность, используя связь со смежными углами. Проверка суммы показывает, что данное условие подходит: 112° + 68° = 180°. Значит, эти углы дополняют друг друга до развёрнутого угла.
Ответ: прямые параллельны.
Можно перепутать внутренние накрест лежащие углы с односторонними, если смотреть только на то, как наклонён чертёж. У односторонних углов секущая проходит между ними с одной стороны, а накрест лежащие находятся по разные стороны секущей. Проверьте положение каждого угла относительно обеих прямых, а не его направление на странице.
Ещё одна ошибка — считать достаточным равенство любых двух углов. Оно не доказывает параллельность, если неизвестно, как именно углы расположены при секущей. Сначала назовите вид пары и убедитесь, что её соотношение соответствует признаку.
Признак и свойство параллельных прямых направлены в разные стороны. Свойство говорит, какие углы равны, если параллельность уже известна; признак позволяет установить параллельность по углам. Перед доказательством проверьте, что используете данные как основание вывода, а не подменяете его свойством.
Нельзя доказывать параллельность только потому, что прямые на рисунке кажутся не пересекающимися. Чертёж могут выполнить неточно, и расстояние между линиями ничего не доказывает. Найдите в условии угловое соотношение, проверьте его и запишите вывод со ссылкой на признак.
Для работы с признаком нужно знать виды углов, свойства смежных и вертикальных углов. Смежные углы в сумме дают 180°, а вертикальные равны; эти факты помогают преобразовывать условия. Также важно уметь находить соответственные, накрест лежащие и односторонние углы при секущей.
Признак используют, когда нужно доказать параллельность прямых, в том числе в задачах на углы. Умение устанавливать параллельность пригодится при изучении треугольников и четырёхугольников. Поэтому полезно не только запомнить условие, но и распознавать его в разных чертежах.
Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Это углы, расположенные между двумя прямыми и по разные стороны секущей. Они находятся у разных точек пересечения секущей с прямыми.
Как по равенству углов доказать, что прямые параллельны?
Определите две прямые и секущую, затем найдите внутренние накрест лежащие углы. Если они равны, по признаку параллельности прямые параллельны.
Чем признак параллельности отличается от свойства параллельных прямых?
Признак позволяет по равенству углов доказать, что прямые параллельны. Свойство действует в обратном направлении: если прямые параллельны, то определённые углы равны.
Можно ли доказать параллельность, если известны соответственные углы?
Да, если соответственные углы равны. Из равенства можно получить равенство внутренних накрест лежащих углов, а затем применить признак параллельности.
Как использовать сумму односторонних углов для доказательства параллельности?
Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, один из них можно сопоставить со смежным углом. Получится равенство внутренних накрест лежащих углов, которое позволяет применить признак.
31. Признак параллельности прямых
