"Геометрия", Погорелов А.В.
Секущая пересекает две прямые, и при этом образуются пары углов с разным расположением. По тому, где находятся эти углы, можно определить, равны ли они или в сумме дают 180°. Эти свойства помогают выяснить, параллельны ли прямые, и обосновать ответ в задаче. Главное — сначала правильно определить вид пары: накрест лежащие, соответственные или односторонние.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. Она делит плоскость на области, поэтому углы между двумя пересекаемыми прямыми называют внутренними, а углы вне этих прямых — внешними. Это деление помогает искать нужные пары углов и проверять, могут ли прямые быть параллельными.
Накрест лежащие углы — пара внутренних углов, расположенных по разные стороны секущей. Например, если одна пара находится между прямыми слева от секущей, то второй угол лежит между прямыми справа от неё. Такое расположение помогает отличить эту пару от остальных и применить признак параллельности.
Односторонние углы — пара внутренних углов по одну сторону секущей. В отличие от накрест лежащих, они не разделены секущей: оба находятся, например, слева от неё. Это расположение важно, потому что для параллельных прямых сумма таких углов равна 180°.
Соответственные углы занимают одинаковое положение при двух пересечениях прямых секущей. Например, оба угла могут быть сверху от своей прямой и справа от секущей. Поиск одинакового положения позволяет узнать соответственную пару, даже если один из её углов внутренний, а другой внешний.
Когда секущая пересекает две прямые в разных точках, в каждом месте пересечения возникают четыре угла, всего — восемь. Обозначим пересечения буквами A и B, а углы около них — цифрами 1–4 и 5–8 по порядку вокруг каждой точки. Внутренними будут углы, обращённые в промежуток между прямыми: около A это два угла со стороны B, а около B — два угла со стороны A. Остальные четыре угла внешние; такая схема позволяет не путать области, даже если прямые наклонены.
Пары выбирают по положению, а не по тому, равны ли углы или какова их величина. Чтобы найти накрест лежащие, возьмите два внутренних угла и проверьте, что они находятся по разные стороны секущей. Для односторонних нужны два внутренних угла с одной стороны секущей. Для соответственных сравните положение у пересечений: например, угол сверху от первой прямой и справа от секущей сопоставьте с углом сверху от второй прямой и справа от секущей.
Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. На чертеже сравнивают именно углы внутри прямых, расположенные по разные стороны секущей, а не любую пару, которая выглядит похожей. Причина признака в том, что при параллельных прямых накрест лежащие углы равны; обратное утверждение тоже верно: равенство такой пары позволяет заключить, что прямые параллельны. Значит, равенство служит не просто свойством уже известных параллельных прямых, но и способом их распознать.
Если соответственные углы равны, то прямые также параллельны. Углы занимают одинаковое положение у двух пересечений, например оба находятся справа от секущей и над своей прямой. Для проверки нужно сравнить именно такую пару: при равенстве соответственных углов выполняется признак параллельности. Смысл условия в том, что одинаковое направление сторон углов при пересечении указывает на одинаковое направление двух прямых.
Для односторонних внутренних углов условие другое: их сумма должна составлять 180°. Углы лежат внутри прямых по одну сторону секущей, поэтому равенства между ними требовать не нужно. Если сумма равна 180°, прямые параллельны; если прямые параллельны, такая сумма получается обязательно. Этот признак отличается от первых двух: там сравнивают величины и проверяют равенство, а здесь складывают углы.
| Пары углов | Расположение | Условие | Вывод |
|---|---|---|---|
| Накрест лежащие внутренние | Внутри двух прямых, по разные стороны секущей | Углы равны | Прямые параллельны |
| Соответственные | Занимают одинаковое положение у двух точек пересечения | Углы равны | Прямые параллельны |
| Односторонние внутренние | Внутри двух прямых, по одну сторону секущей | Сумма углов равна 180° | Прямые параллельны |
Сначала определите по расположению, какая пара дана, затем выберите её условие из таблицы. Для накрест лежащих и соответственных проверяют равенство, а для односторонних — сумму. Вывод о параллельности делают только после проверки нужного условия.
Задача 1. Две прямые пересечены секущей. Угол 1 равен 65°. Найдите вертикальный ему угол и смежные с ним углы. Сначала вспомним, что вертикальные углы лежат друг напротив друга при пересечении двух прямых, а смежные имеют общую сторону. Смежная пара вместе образует развёрнутый угол, поэтому её сумма равна 180°.
Ответ: вертикальный угол равен 65°, каждый из двух смежных углов — 115°. Проверка: 65° + 115° = 180°, как и должно быть для смежных углов.
Задача 2. Накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны 72° и 72°. Определите взаимное расположение прямых и обоснуйте ответ. Слова «накрест лежащие» сразу подсказывают, какую пару нужно сравнивать: это внутренние углы по разные стороны секущей. Здесь их величины совпадают, поэтому условие признака выполнено.
Ответ: прямые параллельны. Обоснование опирается именно на равенство накрест лежащих углов, а не на то, что каждое из них равно 72° само по себе.
Задача 3. Односторонние внутренние углы равны 3x + 10° и 5x + 10°. Найдите x и докажите, что прямые параллельны. Для этой пары условием параллельности служит сумма 180°, поэтому складываем выражения и приравниваем результат к 180°. Затем проверим найденное значение и сформулируем вывод по признаку.
Ответ: x = 20; прямые параллельны. Проверка подтверждает, что углы действительно односторонние внутренние и их сумма равна 180°.
Путать накрест лежащие и соответственные углы. Ошибка возникает, если ориентироваться на то, какие углы кажутся похожими, а не на стороны секущей и прямых. Для самопроверки сначала отметьте внутреннюю область, затем выясните, по одну или по разные стороны секущей лежат углы. У соответственных же углов ищут одинаковое положение у двух пересечений.
Считать, что равенство любых двух углов доказывает параллельность. Некоторые углы равны и при пересекающихся прямых, например вертикальные, поэтому произвольное равенство ничего не говорит о параллельности двух данных прямых. Такую ошибку допускают, запомнив только слова «равные углы». Проверьте, что углы именно накрест лежащие или соответственные, прежде чем делать вывод.
Требовать равенства односторонних углов. Это условие относится к другой паре: для односторонних внутренних углов проверяют сумму 180°. Путаница появляется, если все признаки параллельности свести к равенству. Самопроверка простая: если углы лежат внутри прямых по одну сторону секущей, сложите их величины.
Неверно составлять уравнение для односторонних углов. Можно приравнять выражения, хотя требуется, чтобы их сумма была 180°, или забыть одно из слагаемых. Такая ошибка меняет и значение неизвестного, и вывод о параллельности. Перед вычислением запишите словами условие, сложите оба выражения, а найденное значение подставьте обратно и проверьте сумму.
Перед изучением этих углов нужно знать вертикальные и смежные углы: вертикальные равны, а сумма смежных составляет 180°. Также пригодится признак параллельности по равенству соответственных углов. Новая тема объединяет эти знания и даёт несколько способов обосновать параллельность прямых. Она пригодится при доказательствах и в задачах, где нужно найти углы или проверить их сумму.
Как понять, какие углы называются накрест лежащими?
Оба угла должны находиться между двумя прямыми, а секущая должна разделять их, то есть они лежат по разные стороны от неё. Такие углы называют накрест лежащими.
Чем соответственные углы отличаются от накрест лежащих?
Накрест лежащие углы находятся внутри двух прямых по разные стороны секущей. Соответственные занимают одинаковое положение у двух точек пересечения: например, оба расположены сверху от своей прямой и справа от секущей.
Как по углам определить, параллельны ли прямые?
Найдите нужную пару относительно двух прямых и секущей. Если накрест лежащие или соответственные углы равны, прямые параллельны; если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, прямые тоже параллельны.
Почему сумма односторонних углов равна 180°?
Когда прямые параллельны, односторонние внутренние углы вместе образуют развёрнутый угол, величина которого равна 180°. Поэтому их сумма — 180°, а не обязательно каждый из этих углов равен другому.
Можно ли доказать параллельность прямых, если равны любые два угла?
Нет, одного равенства любых двух углов недостаточно. Нужно проверить, что углы образуют одну из подходящих пар: накрест лежащую или соответственную.
30. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
