29. Параллельность прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Иными словами, сколько бы далеко мы ни продолжали их в обе стороны, общей точки у них не будет. Параллельность прямых a и b обозначают записью a ∥ b, которую читают «a параллельна b».

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. При таком пересечении образуются восемь углов, которые удобно сравнивать попарно по их расположению. Среди этих пар есть соответственные, накрест лежащие и односторонние внутренние углы.

Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух точек пересечения прямых секущей. Например, если один угол находится сверху от одной прямой и справа от секущей, то соответственный ему угол расположен сверху от другой прямой и тоже справа от секущей. Такая пара помогает сравнить направление двух прямых.

Признак параллельности прямых — условие, позволяющее доказать, что прямые параллельны. Для этого проверяют определённую пару углов при секущей: равенство соответственных или накрест лежащих углов либо сумму односторонних внутренних углов, равную 180°. Признак позволяет установить параллельность, даже если на чертеже прямые выглядят непараллельными.

Как это устроено

Аксиома параллельных прямых утверждает: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Существование такой прямой означает, что параллельную построить можно, а слово «ровно» запрещает провести через ту же точку вторую. Аксиома задаёт важное свойство плоскости и служит основой для доказательств о параллельных прямых.

Когда секущая пересекает две параллельные прямые, углы у пересечений связаны между собой. Соответственные углы равны, потому что секущая пересекает одинаково направленные прямые и занимает одинаковое положение относительно каждой из них. Накрест лежащие углы тоже равны: каждый из них равен соответственному углу, а значит, они равны друг другу. Односторонние внутренние углы в сумме дают 180°, поскольку один из них дополняет до 180° угол, равный другому.

Эти соотношения можно использовать и в обратную сторону — как признаки параллельности. Если соответственные углы равны, то прямые не могут пересекаться: при пересечении возникли бы углы, которые не удовлетворяют такому соотношению. Равенство накрест лежащих углов приводит к тому же выводу. Если односторонние внутренние углы составляют 180°, это также показывает, что прямые параллельны.

В доказательстве сначала нужно найти прямую, которая пересекает обе рассматриваемые прямые, — секущую. Затем следует определить положение нужных углов: соответственные они, накрест лежащие или односторонние внутренние. После этого проверяют условие нужного признака и записывают вывод о параллельности. Если углы просто равны, но их расположение не установлено, применять признак нельзя.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Каждая из них образует с общей прямой угол 90°, поэтому подходящие соответственные углы равны. Общая перпендикулярная прямая здесь играет роль секущей, а равенство углов позволяет применить признак параллельности. Так перпендикулярность становится удобным способом доказать, что две прямые не пересекаются.

Угловые признаки параллельности прямых

Сначала установи, где находятся сравниваемые углы: внутри или снаружи прямых, по одну или по разные стороны секущей. Затем найди для этой пары нужную строку и проверь условие. Если условие выполнено, можно сделать указанный вывод о прямых.

Разбор задач

Соответственные углы равны 68°

При пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны 68°. Докажем, что прямые параллельны. Здесь важно не само числовое значение углов, а то, что они занимают одинаковое положение у двух пересечений. Для такой пары действует признак параллельности.

1. Определяем прямую, которая пересекает обе рассматриваемые прямые: это секущая.
2. По условию отмеченные углы соответственные, и каждый из них равен 68°. Следовательно, они равны между собой.
3. Применяем признак: если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны. Равенство углов в 68° подтверждает условие признака.

Накрест лежащие углы равны 47° и 133°

Две прямые пересечены секущей, а накрест лежащие углы равны 47° и 133°. Нужно решить, можно ли заключить, что прямые параллельны. Для накрест лежащих углов признак требует равенства, а не того, чтобы их сумма была равна 180°. Поэтому сначала сравним данные величины.

1. Определяем пару: по условию углы накрест лежащие, значит, применим именно соответствующий признак.
2. Проверяем равенство: 47° ≠ 133°. Следовательно, условие признака не выполнено.
3. Хотя 47° + 133° = 180°, это не доказывает параллельность: сумма 180° является условием для односторонних внутренних углов, а не для накрест лежащих.

Ответ: по данным углам нельзя заключить, что прямые параллельны. Нельзя заменять нужное равенство суммой углов, даже если она составляет 180°.

Две прямые перпендикулярны третьей

Дано: прямые a и b перпендикулярны прямой c. Докажем, что a ∥ b. Каждая из прямых a и b пересекает c под прямым углом. Значит, при пересечении a и b прямой c возникают равные углы, и c можно рассматривать как секущую.

1. Из перпендикулярности получаем, что углы между a и c, а также b и c равны 90°.
2. Выбираем эти углы как соответственные при пересечении прямых a и b секущей c.
3. Соответственные углы равны, поэтому по признаку параллельности a ∥ b.

Ответ: a ∥ b. Общая перпендикулярная прямая образует равные углы с обеими прямыми, что и позволяет применить признак.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что равенство любых двух углов при секущей доказывает параллельность. Так думают, потому что запоминают правило про равные углы, но забывают название пары. Проверь, являются ли углы соответственными или накрест лежащими: только для этих пар признак требует равенства.

Накрест лежащие углы иногда путают с односторонними внутренними, потому что обе пары находятся между прямыми. Но первые расположены по разные стороны секущей и при параллельных прямых равны, а вторые — по одну сторону и в сумме дают 180°. Перед вычислениями отметь положение углов и проверь, какую пару ты рассматриваешь.

Нельзя объявлять прямые параллельными только потому, что на чертеже они не пересекаются. Рисунок может быть неточным, а сами прямые мысленно продолжаются бесконечно. Чтобы обосновать вывод, используй определение, аксиому или признак параллельности и укажи, какое условие выполнено.

Ещё одна ошибка — неверно выбирать секущую или пары углов, особенно на непривычно расположенном чертеже. Привычное направление рисунка не определяет вид углов: важны только их положения относительно прямых и секущей. Проследи, какая прямая пересекает обе другие, и сравни расположение углов у двух точек пересечения.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в параллельности, нужно знать виды углов, возникающих при пересечении двух прямых секущей, а также свойства вертикальных и смежных углов. Они помогают находить неизвестные величины и устанавливать равенство или сумму нужной пары. Позже признаки параллельности пригодятся при доказательстве свойств треугольников и четырёхугольников. С их помощью также решают задачи, в которых по нескольким углам требуется найти остальные.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.
• Равенство соответственных углов доказывает параллельность прямых.
• Равенство накрест лежащих углов доказывает параллельность прямых.
• Если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, прямые параллельны.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.