§ 4. Сумма углов треугольника

Определения и обозначения

Угол треугольника — это угол между двумя сторонами треугольника, выходящими из одной вершины. У треугольника три вершины, поэтому у него три внутренних угла. Они находятся внутри фигуры и обозначаются буквами вершин, например ∠A, ∠B и ∠C.

Сумма углов треугольника — результат сложения величин всех трёх его внутренних углов. Для треугольника ABC это можно записать так: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Это равенство нужно, чтобы находить неизвестный угол и проверять, могут ли заданные величины быть углами одного треугольника.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его внутренних углов. Чтобы получить его, продолжи одну сторону треугольника за вершину; продолженная сторона и другая сторона при этой вершине образуют внешний угол. Он расположен снаружи треугольника, но связан с его внутренними углами.

Смежные углы — два угла с общей стороной, у которых две другие стороны образуют прямую. Вместе они составляют развёрнутый угол, то есть 180°. Это свойство помогает соотнести внешний угол треугольника с внутренним углом при той же вершине.

Как это устроено

Рассмотрим треугольник ABC и проведём через вершину A прямую, параллельную стороне BC. Стороны AB и AC пересекают эту прямую и выступают в роли секущих, то есть прямых, пересекающих параллельные линии. Поэтому углы между новой прямой и сторонами AB, AC равны углам при B и C как накрест лежащие. Так углы треугольника можно увидеть рядом друг с другом у вершины A.

У вершины A три получившихся угла вместе образуют развёрнутый угол: их внешние стороны лежат на одной прямой. Развёрнутый угол равен 180°, значит, сумма этих трёх углов тоже равна 180°. Два из них равны углам B и C, а третий — углу A самого треугольника. Следовательно, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Продолжим сторону треугольника за вершину и обозначим образовавшийся внешний угол. Он и внутренний угол при этой вершине смежные, поэтому их сумма составляет 180°. Но сумма трёх внутренних углов треугольника также равна 180°. Если из обеих сумм убрать общий внутренний угол при вершине, останется равенство: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Именно поэтому при поиске внешнего угла складывают два других внутренних угла, а не соседний с ним.

Каждый угол треугольника больше 0°, а сумма всех трёх равна 180°. Если один угол прямой, он занимает все 90° из половины этой суммы, а два остальных вместе дают ещё 90°; второго прямого угла быть не может. Если один угол тупой, он уже больше 90°, и два других вместе меньше 90°, поэтому ни один из них не может быть тупым или прямым. Значит, в треугольнике бывает не более одного прямого или тупого угла.

Теорема о сумме углов превращает поиск неизвестного угла в вычитание: из 180° нужно вычесть два известных угла. Чтобы проверить заданные три величины, сложи их и сравни результат с 180° — только при равенстве они могут быть углами одного треугольника. Если задача спрашивает о внешнем угле, можно использовать либо сумму двух несмежных внутренних, либо пару смежных углов. Выбирай тот способ, для которого известны нужные величины.

Связи между внутренними и внешними углами треугольника

Сначала определи, какие углы даны и какой требуется найти. Затем выбери подходящую строку: для трёх внутренних углов используй сумму 180°, а для внешнего — нужную связь со смежным или несмежными углами. После вычисления проверь, что величина угла больше 0° и соответствует условию задачи.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдём третий угол. Искомая величина должна дополнить сумму известных углов до 180°, потому что именно столько составляют все три внутренних угла.

1. Сложим известные углы: 48° + 67° = 115°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Проверим: 48° + 67° + 65° = 180°.

Ответ: третий угол равен 65°.

Задача 2. Внешний угол треугольника равен 126°, один из несмежных внутренних углов — 53°. Найдём второй несмежный угол. Внешний угол равен сумме именно двух внутренних углов, которые не имеют с ним общей вершины, поэтому из него можно вычесть известный угол.

1. Обозначим второй несмежный внутренний угол буквой x.
2. По теореме о внешнем угле составим равенство: 126° = 53° + x.
3. Вычтем 53°: x = 126° − 53° = 73°.
4. Проверим: 53° + 73° = 126°.

Ответ: второй несмежный угол равен 73°.

Задача 3. Один угол треугольника вдвое больше второго, а третий на 20° больше второго. Найдём все углы и определим вид треугольника. Удобно обозначить второй угол через x, тогда остальные можно выразить через него и использовать сумму 180°.

1. Пусть второй угол равен x°. Тогда первый равен 2x°, а третий — (x + 20)°.
2. Составим уравнение по сумме углов: 2x + x + (x + 20) = 180.
3. Приведём подобные слагаемые: 4x + 20 = 180, откуда 4x = 160 и x = 40.
4. Найдём углы: первый — 80°, второй — 40°, третий — 60°. Проверим сумму: 80° + 40° + 60° = 180°.

Ответ: углы равны 80°, 40° и 60°. Все они меньше 90°, поэтому треугольник остроугольный.

Типичные ошибки

Учитывают только два угла. Иногда сумму двух известных углов ошибочно приравнивают к 180°, забывая, что у треугольника три внутренних угла. Так могут рассуждать, потому что два угла уже даны в условии. Проверь себя: в записи суммы должны присутствовать все три угла, а неизвестный — дополнять известные до 180°.

Считают внешний угол равным смежному внутреннему. Эти углы не равны автоматически: они вместе образуют развёрнутый угол и дают 180°. Путаница возникает из-за того, что внешний угол расположен рядом с внутренним. Для проверки сложи их величины; если ответ не 180°, вычисление неверно.

Подставляют в теорему о внешнем угле смежный внутренний. В сумму для внешнего угла входят два внутренних угла, не смежных с ним, а угол при той же вершине — смежный. Их смешивают, потому что все они принадлежат одному треугольнику. Перед вычислением отметь, какой угол находится рядом с внешним, и исключи его из суммы двух несмежных.

Приписывают 180° каждому углу. Число 180° — это сумма трёх углов, а не величина каждого из них. Ошибка может появиться, если запомнить формулу, не различая сумму и отдельный угол. Проверь запись: знак сложения должен стоять между тремя величинами, а результатом всего выражения должно быть 180°.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно знать, что такое треугольник, его вершины и стороны, а также уметь обозначать углы. Если непонятно, какой угол образован двумя сторонами, начни с определения угла и названий вершин. Эти знания позволяют правильно выделить три внутренних угла фигуры.

При разборе внешнего угла пригодится правило о смежных углах: их сумма равна 180°. Оно объясняет связь внешнего угла с внутренним при той же вершине. Поэтому перед решением полезно вспомнить, как выглядят две смежные стороны и какую прямую они образуют.

Сумма углов треугольника помогает решать задачи на углы многоугольников и доказывать геометрические утверждения. Её используют и при вычислении неизвестных элементов фигур, когда их можно разделить на треугольники. Умение выбирать нужное соотношение углов пригодится и в следующих задачах по геометрии.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Внешний угол треугольника смежен с одним из его внутренних углов.
• Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов.
• Внутренний и смежный с ним внешний углы в сумме дают 180°.
• В треугольнике может быть не более одного прямого угла.
• В треугольнике может быть не более одного тупого угла.