4.1 Сумма углов треугольника

Определения и обозначения

Внутренний угол треугольника — угол, образованный двумя его сторонами с общей вершиной. Угол при вершине A обозначают ∠A, или, если нужно уточнить порядок букв, ∠BAC. Такое обозначение показывает, у какой вершины расположен угол. Оно помогает не спутать углы, когда в задаче рассматривают несколько треугольников.

Сумма углов треугольника — результат сложения трёх внутренних углов одного треугольника. Для треугольника ABC это сумма ∠A + ∠B + ∠C. Она нужна, чтобы находить неизвестный угол, если известны два остальных. Для любого треугольника эта сумма одинакова.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с внутренним углом при продолжении одной из сторон за вершину. Например, продолжив сторону треугольника, можно получить внешний угол рядом с внутренним углом у этой вершины. Эти два угла имеют общую сторону, а две другие стороны лежат на одной прямой. Понятие внешнего угла позволяет связать его с углами при двух других вершинах.

Теорема о сумме углов треугольника утверждает, что сумма трёх внутренних углов любого треугольника равна 180°. Иными словами, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема превращает измерение углов в точный расчёт. С её помощью можно не только находить углы, но и проверять, подходят ли заданные значения треугольнику.

Как это устроено

Возьмём треугольник ABC и выберем вершину A. Через A проведём прямую, параллельную противоположной стороне BC. Такая прямая существует по свойству параллельных прямых: через точку вне данной прямой можно провести параллельную ей прямую. Стороны AB и AC пересекут новую прямую, поэтому возле A появятся два угла, связанные с углами B и C.

Почему новые углы равны углам при B и C? Прямая AB пересекает две параллельные прямые, поэтому накрест лежащие углы при этой секущей равны; один из них совпадает с углом B. То же рассуждение для секущей AC связывает второй угол у A с углом C. Значит, около вершины A можно увидеть три угла, величины которых равны трём внутренним углам исходного треугольника.

Эти три угла расположены по одну сторону от проведённой прямой и вместе образуют развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен 180°, поэтому сумма получившихся углов тоже равна 180°. Поскольку два из них равны углам B и C, а третий — углу A, получаем ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Так свойство параллельных прямых и величина развёрнутого угла дают доказательство теоремы.

Теперь продолжим одну сторону треугольника за вершину и обозначим образовавшийся внешний угол. Он смежен с внутренним углом при этой вершине, поэтому их сумма равна 180°. Сумма трёх внутренних углов треугольника тоже равна 180°; если из обеих сумм вычесть один и тот же соседний внутренний угол, останется равенство внешнего угла сумме двух остальных. Эти два угла называют удалёнными: они расположены при вершинах, не образующих данный внешний угол.

Сумма углов помогает определить вид треугольника и проверить заданные значения. Если один угол равен 90°, два других вместе дают 90°, значит, оба они острые; если два угла равны, треугольник равнобедренный и равные углы находятся при основании. Для возможного треугольника каждый внутренний угол должен быть положительным, а сумма трёх значений — ровно 180°. Поэтому даже подходящие по отдельности числа могут не составить углы одного треугольника.

Связи между углами треугольника

Таблица собирает свойства, которые помогают переходить от известных углов к неизвестным. Сначала определи, какая ситуация дана в задаче, а затем используй соответствующую формулировку. В последней строке проверяй не только сумму, но и то, что каждый угол положителен.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два угла равны 47° и 68°. Нужно найти третий угол. Неизвестный угол дополняет известные до суммы 180°. Поэтому сначала складываем известные величины, а затем вычитаем их сумму из 180°.

1. Сложим известные углы: 47° + 68° = 115°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Проверим сумму: 47° + 68° + 65° = 180°.

Ответ: третий угол равен 65°. Проверка подтверждает, что значение согласуется с теоремой о сумме углов.

Задача 2. Внешний угол треугольника равен 126°, один из удалённых внутренних углов равен 52°. Найдём второй удалённый угол. По теореме внешний угол равен сумме именно двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, неизвестное слагаемое получим вычитанием.

1. Обозначим неизвестный удалённый угол через x.
2. Запишем теорему: 126° = 52° + x.
3. Вычтем 52°: x = 126° − 52° = 74°.

Ответ: второй удалённый внутренний угол равен 74°. Вместе с углом 52° эти углы дают 126°, как и требуется по теореме о внешнем угле.

Задача 3. Углы треугольника равны x°, (2x + 10)° и (3x − 40)°. Требуется найти x и величины углов. Поскольку известны выражения для всех трёх углов, сложим их и приравняем результат к 180°. После решения проверим каждый угол: он должен быть положительным.

1. Составим уравнение: x + (2x + 10) + (3x − 40) = 180.
2. Соберём слагаемые: 6x − 30 = 180, откуда 6x = 210 и x = 35.
3. Найдём углы: 35°, 80° и 65°.
4. Проверим: 35° + 80° + 65° = 180°, все значения положительны.

Ответ: x = 35; углы треугольника равны 35°, 80° и 65°. Проверка показывает, что найденные значения возможны.

Типичные ошибки

Иногда складывают только два угла и объявляют их сумму равной 180°. Так путают сумму углов треугольника с развёрнутым углом: 180° дают все три внутренних угла вместе. Перед вычислением выпиши три угла и отметь, какие из них уже известны. Проверка проста: после нахождения неизвестного сложи все три значения.

Внешний угол могут принять за третий внутренний, потому что оба относятся к тому же треугольнику. Но внешний угол лежит снаружи и смежен с внутренним у одной вершины, а третий внутренний расположен у другой вершины. Посмотри, какая сторона продолжена и где находится угол. Смежные внутренний и внешний углы должны в сумме дать 180°.

Ещё одна ошибка — сложить внешний угол с соседним внутренним и назвать эту сумму суммой двух удалённых углов. Соседний угол не входит в теорему о внешнем угле: он смежный с внешним, поэтому пара даёт 180°. Найди две другие вершины треугольника и используй углы именно при них. Результат проверь равенством внешнего угла и суммы этих двух углов.

При решении уравнения можно получить значения, не подходящие для треугольника, и остановиться на ответе. Такое случается, если не проверить найденные углы: внутренний угол должен быть больше 0°, а сумма всех трёх — 180°. Подставь найденное число в каждое выражение и сложи результаты. Если условие не выполняется, проверь составление уравнения и вычисления.

Связь с другими темами

Для доказательства теоремы нужны знакомые свойства смежных углов, развёрнутого угла и углов, образованных параллельными прямыми и секущей. В задачах с выражениями понадобятся умение составлять и решать простейшие уравнения, а также проверять результат подстановкой. Свойство суммы углов используется при изучении треугольников, подобных фигур и суммы углов многоугольника. Поэтому навык находить неизвестный угол пригодится и в следующих темах геометрии.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Смежные внутренний и внешний углы в сумме дают 180°.
• В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• По трём углам можно проверить, существует ли треугольник.
• Для нахождения неизвестного угла сначала запиши известную сумму углов.