§ 8. Сумма углов треугольника

Определения и обозначения

Треугольник — фигура, ограниченная тремя отрезками; места, где отрезки соединяются, называются вершинами. Внутренние углы треугольника расположены при его вершинах: если вершины обозначены A, B и C, углы записывают как ∠A, ∠B и ∠C. Такое обозначение позволяет коротко указывать, о каком угле идёт речь. Оно особенно удобно, когда в задаче нужно сопоставить несколько углов.

Сумма углов треугольника — результат сложения величин всех трёх его внутренних углов. Для треугольника ABC это выражение ∠A + ∠B + ∠C. Понятие суммы нужно, чтобы находить неизвестный угол, когда величины двух других уже известны. Оно также помогает проверять, правильно ли решена задача.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с внутренним углом при одной из вершин. Смежными называют два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны образуют прямую. Внешний угол появляется, если продолжить одну из сторон треугольника за вершину. Это определение помогает отличать внешний угол от внутреннего, хотя оба расположены у одной вершины.

Теорема о внешнем угле треугольника утверждает: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, внешний угол при вершине C равен ∠A + ∠B. Теорема нужна, когда величины углов при других вершинах известны или когда нужно сравнить внешний угол с ними. Важно не включать в эту сумму внутренний угол при той же вершине.

Как это устроено

Теорема о сумме углов утверждает: сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Чтобы понять причину, возьмём треугольник ABC и проведём через вершину C прямую, параллельную стороне AB. Прямая CB пересечёт параллельные AB и проведённую прямую, поэтому угол между CB и новой прямой равен ∠B как накрест лежащий. Накрест лежащий угол между новой прямой и CA равен ∠A, а вместе эти два угла и ∠C составляют развернутый угол, то есть 180°.

Из теоремы сразу получается способ найти неизвестный внутренний угол. Если известны ∠A и ∠B, запишем ∠C = 180° − ∠A − ∠B. Мы вычитаем известные части из всей суммы, потому что все три угла вместе дают ровно 180°. Такой же порядок действий подходит для любой вершины и любого треугольника.

Внешний угол и внутренний угол при одной вершине смежные, значит, их стороны, не являющиеся общей, образуют прямую. Поэтому два угла вместе составляют 180°. Если внутренний угол равен α, а смежный внешний — γ, то α + γ = 180°. Это свойство позволяет выразить внешний угол как разность 180° и внутреннего угла при той же вершине.

Теперь обозначим внешний угол при вершине C через γ. По свойству смежных углов γ + ∠C = 180°, а по теореме о сумме углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°. В правых частях равенств одно и то же число, и из них следует γ = ∠A + ∠B. Так получаем теорему о внешнем угле: он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема помогает не только находить угол, но и сравнивать величины. Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов, а каждый из них положителен. Значит, внешний угол больше каждого по отдельности. Например, если внешний угол равен 125°, а один из несмежных углов — 50°, то второй равен 125° − 50° = 75°.

Углы треугольника и связанные с ними свойства

Сначала определите, какие именно углы даны: внутренние или внешний и смежный с ним. Затем выберите строку таблицы с подходящей связью и составьте равенство. После вычислений проверьте, согласуется ли результат с выбранным свойством.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два угла равны 45° и 70°. Найдите третий угол. Нужно использовать сумму внутренних углов; обозначим неизвестный угол через x и найдём недостающую часть от 180°. Такая запись помогает не перепутать сложение известных значений с вычитанием.

1. Сложим известные углы: 45° + 70° = 115°.
2. Вычтем их сумму из 180°: x = 180° − 115° = 65°.
3. Проверим: 45° + 70° + 65° = 180°.

Ответ: 65°.

Задача 2. Внешний угол треугольника при вершине C равен 125°, а один из несмежных внутренних углов равен 50°. Найдите второй несмежный угол. Здесь речь именно о двух внутренних углах, не прилегающих к внешнему: их сумма равна внешнему углу. Поэтому достаточно вычесть из 125° известные 50°.

1. Обозначим неизвестный несмежный угол через x.
2. По теореме о внешнем угле составим равенство: 125° = 50° + x.
3. Найдём неизвестное: x = 125° − 50° = 75°.

Ответ: 75°. Проверка: внешний угол 125° больше и 50°, и 75°, как и должно быть.

Задача 3. Углы треугольника равны x + 10°, 2x° и 3x − 10°. Найдите x и величины углов. Так как выражены все три внутренних угла, сложим их и приравняем сумму к 180°. После решения уравнения подставим значение x в каждое выражение; это позволит проверить и само уравнение, и найденные углы.

1. Составим уравнение: (x + 10°) + 2x° + (3x − 10°) = 180°.
2. Сложим подобные слагаемые: 6x° = 180°, поэтому x = 30.
3. Вычислим углы: x + 10° = 40°, 2x° = 60°, 3x − 10° = 80°.
4. Проверим сумму: 40° + 60° + 80° = 180°.

Ответ: x = 30; углы равны 40°, 60° и 80°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что сумма углов равна 180° только у некоторых треугольников, например у равносторонних. Так могут решить, что свойство связано с равенством сторон или углов, хотя доказательство использует параллельные прямые и подходит для любого треугольника. Применяйте теорему и к остроугольным, и к прямоугольным, и к тупоугольным треугольникам. Проверка проста: сумма трёх внутренних углов должна дать 180°.

Ошибка: путать внешний угол с внутренним при той же вершине. Они расположены рядом, но не равны вообще всегда: это смежные углы, сумма которых составляет 180°. Путаница возникает, если не проследить, какая сторона продолжена за вершину. Отметьте общую сторону и убедитесь, что две остальные образуют прямую.

Ошибка: приравнивать внешний угол к сумме всех трёх внутренних углов. Внешний угол равен только двум внутренним углам, не смежным с ним; внутренний угол при той же вершине в эту сумму не входит. Обычно ошибку вызывает смешение двух теорем об углах. Проверьте выбранные углы: сумма внешнего и смежного внутреннего должна быть 180°, а сумма трёх внутренних — тоже 180°.

Ошибка: неверно составить уравнение или вычислить неизвестный угол. Например, можно сложить известные углы вместо того, чтобы вычесть их из 180°, либо забыть раскрыть скобки. Записывайте сначала связь между углами, а затем выполняйте вычисления по шагам. В конце подставьте ответ обратно и проверьте, что сумма внутренних углов равна 180°.

Связь с другими темами

Для доказательства теоремы нужны понятия угла, треугольника, смежных и накрест лежащих углов, а также свойство параллельных прямых. Если они знакомы, можно понять, почему сумма углов треугольника неизменна, а не только запомнить её. Теорема пригодится при нахождении неизвестных углов и решении задач о треугольниках. Позже эти свойства будут использоваться при изучении равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Неизвестный внутренний угол можно найти, вычтя два известных из 180°.
• Внутренний и смежный с ним внешний углы в сумме равны 180°.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов.
• Внешний угол больше каждого из двух несмежных внутренних углов.