7.6. Полоса

Определения и обозначения

Полоса — часть плоскости, заключённая между двумя параллельными прямыми. Иначе говоря, если провести две прямые, которые не пересекаются, область между ними образует полосу. Это понятие помогает точно указать, какую часть плоскости рассматривают в задаче.

Границы полосы — две параллельные прямые, между которыми расположена полоса. Каждая из этих прямых ограничивает полосу с одной стороны. Название границ позволяет отличать сами прямые от области плоскости между ними.

Ширина полосы — расстояние между её граничными прямыми. Её можно представить как размер полосы поперёк, а не вдоль прямых. Ширина нужна, чтобы сравнивать полосы и находить расстояние между их границами.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого от одной прямой до другой. Перпендикуляр — это отрезок, который пересекает прямую под прямым углом. Именно его длину используют, потому что она показывает кратчайшее расстояние между прямыми.

Как это устроено

Две параллельные прямые делят плоскость на три части: область между ними и две области по внешним сторонам. Это происходит потому, что каждая прямая разделяет плоскость на две полуплоскости, а общая часть полуплоскостей, лежащая между прямыми, образует полосу. Внешние области находятся за пределами обеих границ. Поэтому, изображая полосу, нужно выделять именно пространство между прямыми, а не любую из получившихся частей.

Чтобы измерить ширину полосы, из точки на одной граничной прямой проводят перпендикуляр до другой границы. Прямой угол можно проверить угольником, а длину полученного отрезка — измерить линейкой. Такой способ подходит, потому что расстояние между прямыми определено через перпендикуляр, а не через произвольно выбранный путь. Точка, из которой проводят перпендикуляр, может находиться в любом месте первой границы.

Все перпендикулярные отрезки между двумя параллельными прямыми имеют одинаковую длину. Причина в том, что параллельные прямые везде находятся на одном и том же расстоянии друг от друга: они не сближаются и не расходятся. Поэтому, где бы ни был проведён перпендикуляр, его длина останется прежней. Это позволяет измерять ширину там, где удобнее, и получать один и тот же результат.

Ширина полосы равна расстоянию между её граничными прямыми и выражается в единицах длины. Например, если перпендикуляр между границами имеет длину 3 см, ширина полосы равна 3 см. При записи ответа нужно указать единицу измерения: сантиметры, метры или другую подходящую единицу. Число без единицы не сообщает, в каких мерах выражена ширина.

Если известна ширина полосы, можно определить длину любого перпендикулярного отрезка между её границами: эти величины равны. Наклонный отрезок устроен иначе: он идёт к другой прямой не под прямым углом и обычно получается длиннее кратчайшего пути. Поэтому его длина не задаёт ширину полосы. Проверка простая: отрезок, которым измеряют ширину, должен образовывать прямой угол с границами.

Полоса и её ширина

Сначала определите, какие две прямые ограничивают полосу, а затем выберите нужное понятие. Если требуется ширина или расстояние между прямыми, ищите перпендикулярный отрезок и указывайте его длину. Таблица также помогает не путать область полосы с её границами.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить две параллельные прямые и показать на рисунке полосу между ними. Нужно не просто провести прямые, но и различить область между ними и две области снаружи. Условимся, что обе прямые будут горизонтальными: это упрощает изображение, но не меняет свойств полосы.

1. Проведём две прямые, которые не пересекаются, и обозначим их a и b. На рисунке важно сохранить одинаковое расстояние между ними, чтобы показать параллельность.
2. Посмотрим на три области, на которые эти прямые делят плоскость. Полосой будет только средняя область, расположенная между a и b.
3. Назовём прямые a и b границами полосы. При желании область между ними можно слегка заштриховать, чтобы она не смешивалась с внешними частями.

Ответ: полоса — область между прямыми a и b; сами прямые являются её границами. Заштриховывать внешние области не нужно, потому что они не входят в полосу. Рисунок должен показывать, что границы параллельны.

Задача 2. Расстояние между границами полосы равно 4 см. Найти её ширину. Здесь уже дана величина, которая по определению совпадает с шириной: расстояние между параллельными прямыми измеряется перпендикуляром. Поэтому дополнительных вычислений не требуется, но полезно записать, почему число подходит.

1. Обозначим расстояние между граничными прямыми через d. По условию d = 4 см.
2. Вспомним, что ширина полосы равна расстоянию между её границами. Следовательно, ширина имеет ту же величину, что и d.
3. Запишем результат с единицей измерения, поскольку ширина — длина.

Ответ: ширина полосы равна 4 см. Число взято из условия, а равенство следует из определения ширины. Если бы расстояние было дано в метрах, ответ тоже следовало бы записать в метрах.

Задача 3. Из точки на одной границе полосы проведены к другой границе перпендикулярный и наклонный отрезки. Перпендикулярный отрезок равен 5 см. Нужно определить ширину и решить, подходит ли наклонный отрезок для её измерения. Для этого надо проверить, какой из отрезков задаёт расстояние между параллельными прямыми.

1. Отметим, что перпендикулярный отрезок соединяет границы под прямым углом. Именно длина такого отрезка равна расстоянию между параллельными прямыми.
2. Подставим известную длину: расстояние между границами равно 5 см. Значит, ширина полосы тоже равна 5 см.
3. Наклонный отрезок не образует прямого угла с границами. Поэтому его длину нельзя принять за ширину, даже если он соединяет те же прямые.

Ответ: ширина полосы равна 5 см; наклонный отрезок не измеряет её. Проверяя ответ, убедитесь, что выбран отрезок, перпендикулярный обеим параллельным границам. Его длина, а не длина наклонного пути, задаёт ширину.

Типичные ошибки

• Иногда полосой называют одну из внешних частей плоскости. Так ошибаются, если мысленно продолжают область по одну сторону от прямой и не выделяют обе границы. Проверьте себя: полоса должна находиться между двумя параллельными прямыми, а снаружи остаются другие области.

• Для измерения ширины иногда выбирают наклонный отрезок. Его легко принять за нужный, потому что он тоже соединяет границы, но расстояние между параллельными прямыми определяют перпендикуляром. Проверьте, образует ли отрезок прямой угол с границами; если нет, это не ширина.

• Можно решить, что ширина меняется в зависимости от места, где проведён перпендикуляр. Такое впечатление возникает, если мысленно сравнивать полосы разной формы или смотреть на рисунок с неточным масштабом. Проверьте геометрическое условие: между одной парой параллельных прямых все перпендикулярные отрезки равны.

• Ширину иногда путают с длиной граничных прямых. Это происходит потому, что на рисунке обе величины выглядят как размеры полосы, но границы продолжаются бесконечно, а ширина измеряется поперёк. Проверьте, между какими объектами ищется расстояние: ширина — расстояние между границами, а не протяжённость самих прямых.

Связь с другими темами

Для работы с полосой нужно знать, что такое параллельные и перпендикулярные прямые. Параллельные прямые задают её границы, а перпендикуляр помогает измерить расстояние между ними. Если эти понятия знакомы, ширину полосы можно определить по одному отрезку.

Тема связана с расстоянием от точки до прямой и расстоянием между параллельными прямыми. В обоих случаях важную роль играет перпендикуляр, потому что он задаёт кратчайшее расстояние. Знание этого свойства помогает отличать нужный отрезок от наклонного.

Представление о полосе пригодится при изучении геометрических мест точек — множеств точек, удовлетворяющих заданному условию. Оно также помогает строить рассуждения и решать задачи о параллельных прямых. Например, можно рассматривать область, все точки которой лежат между двумя такими прямыми.

Что запомнить

• Полоса расположена между двумя параллельными прямыми.
• Граничные прямые полосы параллельны.
• Ширина полосы равна расстоянию между её границами.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют перпендикуляром.
• Все перпендикулярные отрезки между одной парой параллельных прямых равны.
• Наклонный отрезок между границами не равен ширине полосы.