7.5. Построение прямоугольника

Определения и обозначения

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90°. Достаточно построить три таких угла: сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому на четвёртый остаётся 90°. Это позволяет обосновать построение, не измеряя каждый угол отдельно.

Смежные стороны — стороны, имеющие общую вершину. В прямоугольнике они перпендикулярны и образуют угол в 90°. Их длины задают размеры фигуры: одна сторона может быть длиной, другая — шириной.

Противоположные стороны — стороны, не имеющие общей вершины. У прямоугольника они равны и параллельны: одна пара повторяет направление длины, другая — направление ширины. Это свойство помогает построить недостающие стороны и проверить готовую фигуру.

Построение прямоугольника — последовательное проведение прямых и откладывание отрезков с помощью чертёжных инструментов. Здесь важны не только размеры, но и точные отношения между линиями: перпендикулярность и параллельность. Поэтому результат обосновывают свойствами фигуры, а не только внешним сходством с прямоугольником.

Как это устроено

Сначала в выбранной точке строят прямой угол, например с помощью угольника. Его стороны продолжают как два луча, выходящие из общей вершины. Они задают направления смежных сторон: поскольку лучи перпендикулярны, угол будущего прямоугольника точно равен 90°, а не просто выглядит прямым на чертеже.

Затем на каждом луче от общей вершины откладывают отрезок заданной длины и отмечают их концы. Для этого можно перенести расстояние циркулем или отмерить линейкой. Так получаются две соседние вершины фигуры, а две первые стороны имеют нужные длины и общий прямой угол.

Через конец каждой стороны проводят прямую, параллельную другому лучу. Например, через конец первого отрезка проводят прямую параллельно второму лучу, а через конец второго — параллельно первому. Параллельные прямые нужны, чтобы противоположные стороны имели то же направление, что и построенные смежные стороны.

Точка пересечения проведённых прямых — четвёртая вершина; её соединяют с концами уже построенных отрезков. Получившийся четырёхугольник имеет прямые углы в трёх вершинах: один был построен сразу, а ещё два образованы перпендикулярными направлениями параллельных прямых. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому четвёртый угол тоже прямой, и фигура является прямоугольником.

В конце проверяют результат: противоположные стороны должны быть параллельны и равны, а смежные — перпендикулярны. Равенство можно проверить линейкой или циркулем, параллельность — угольником и линейкой. Такая проверка подтверждает, что построение соответствует заданным длинам и свойствам прямоугольника.

Этапы построения прямоугольника по двум смежным сторонам

Пользуйся таблицей как планом: выполняй этапы по порядку и сразу проверяй, что получилось. В последнем столбце указано, какое свойство обосновывает каждое действие. Если одно из условий не выполнено, вернись к соответствующему этапу.

Разбор задач

Задача 1. Построить прямоугольник, если заданы длины двух смежных сторон. Сначала нужно получить угол между сторонами, а затем перенести на его лучи обе заданные длины. Параллельные прямые завершат фигуру и сохранят направления её сторон.

1. Выбери точку A и проведи из неё перпендикулярные лучи.
2. На одном луче отложи заданную длину первой стороны и обозначь конец B, на другом — длину второй стороны и обозначь конец D.
3. Через B проведи прямую, параллельную лучу AD, а через D — прямую, параллельную лучу AB.
4. Обозначь точку пересечения прямых буквой C. Четырёхугольник ABCD имеет нужные стороны, а его углы прямые.

Ответ: прямоугольник ABCD построен. Параллельность сторон обеспечена проведёнными прямыми, а четвёртый угол прямой, поскольку сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Задача 2. На данном отрезке построить прямоугольник, одна сторона которого равна этому отрезку, а другая — заданному отрезку. Данный отрезок уже задаёт одну сторону и её направление. Поэтому перпендикуляры в его концах позволят построить равные смежные стороны, не меняя длину заданной стороны.

1. Обозначь данный отрезок AB. В точках A и B построй перпендикуляры к прямой AB.
2. На перпендикулярах отложи в одну сторону отрезки AC и BD, каждый равный заданной длине.
3. Через C проведи прямую, параллельную AB, и через D проведи прямую, параллельную AB.
4. Проведи через C и D линии, параллельные другой смежной стороне, если они ещё не обозначены; точка пересечения завершит прямоугольник. При построении перпендикуляров в концах AB нужно выбрать одинаковое направление.

Ответ: прямоугольник построен на AB, а его противоположные стороны равны заданным отрезкам. Проверка: углы при AB прямые, а противоположные стороны параллельны и равны.

Задача 3. Построить прямоугольник по заданной стороне и диагонали, если такая фигура существует. Диагональ вместе со стороной образует прямоугольный треугольник: сторона прямоугольника — один катет, диагональ — гипотенуза. Удобно получить вторую сторону как перпендикулярный отрезок, конец которого находится на окружности с радиусом, равным диагонали.

1. Обозначь заданную сторону AB, а длину диагонали — d. В точке A построй перпендикуляр к AB.
2. Построй окружность с центром B и радиусом d. Она пересечёт перпендикуляр в точке C, если d больше AB.
3. Треугольник ABC прямоугольный, потому что AC перпендикулярен AB. По построению BC = d, поэтому BC будет диагональю прямоугольника, а AC — его второй стороной.
4. Через C проведи прямую, параллельную AB, а через B — прямую, параллельную AC. Их пересечение даст четвёртую вершину.

Ответ: прямоугольник существует и строится, если d > AB. Если d = AB, вторая сторона получилась бы нулевой, а если d < AB, окружность не пересекла бы перпендикуляр; в обоих случаях прямоугольник построить нельзя.

Типичные ошибки

Считать фигуру прямоугольником только по виду чертежа. При рисовании от руки угол может казаться прямым, хотя его стороны не перпендикулярны. Такую ошибку допускают, когда доверяют внешнему виду вместо построения. Проверь прямой угол угольником или опирайся на построение перпендикулярных прямых.

Откладывать смежные стороны не на перпендикулярных лучах. Тогда между ними получится угол, отличный от 90°, и фигура не будет прямоугольником. Это случается, если сначала отметить длины, а про угол вспомнить позже. Проверь, что перпендикулярность построена до откладывания отрезков.

Проводить через вершину прямую, не параллельную нужной стороне. В таком случае противоположные стороны не будут параллельны, а четырёхугольник может не замкнуться или окажется другим. Причина часто в том, что параллельность оценивают на глаз. Проверь положение прямой с помощью линейки и угольника.

Не проверять, возможно ли построение по стороне и диагонали. Диагональ прямоугольного треугольника — гипотенуза, поэтому она должна быть длиннее каждого катета. Если не учесть это, можно начать построение, которое не даст нужной точки пересечения. Перед началом сравни длины: диагональ должна быть больше заданной стороны.

Связь с другими темами

Для построения прямоугольника нужны навыки, которые изучают в других геометрических построениях: умение проводить перпендикулярные и параллельные прямые, откладывать отрезок заданной длины и пользоваться циркулем с линейкой. Эти действия позволяют получить точный чертёж и обосновать, почему он соответствует условию. Если уверенно выполнять их по отдельности, последовательность построения прямоугольника становится понятной.

Прямоугольник встречается в задачах на геометрические построения и нахождение площадей. А его диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник, поэтому при задачах о диагоналях полезны знания о таких треугольниках. Связь между диагональю и сторонами помогает определить, возможно ли построение по заданным данным.

Что запомнить

• У прямоугольника все углы прямые.
• Достаточно построить три прямых угла: четвёртый также будет прямым.
• Смежные стороны прямоугольника перпендикулярны.
• Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны.
• Для построения по двум смежным сторонам сначала строят прямой угол.
• После построения нужно проверить параллельность и равенство противоположных сторон.