"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Когда секущая пересекает две прямые, образуются пары углов с особыми свойствами. Если прямые параллельны, соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних внутренних углов равна 180°. Эти соотношения помогают находить неизвестные углы и доказывать, что прямые параллельны. Чтобы не перепутать пары, нужно следить, где углы находятся относительно обеих прямых и секущей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются; обозначение: a ∥ b. Иными словами, сколько бы далеко мы ни продолжали такие прямые, общей точки у них не появится. Это обозначение помогает сразу указать, какое условие известно и можно ли применять свойства углов при параллельных прямых.
Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Она как будто пересекает их по очереди, поэтому возле каждой точки образуется группа углов. Секущая нужна, чтобы сравнивать углы у двух прямых и выяснять, параллельны ли они.
Накрест лежащие углы — пара углов между двумя прямыми, расположенных по разные стороны секущей. «Между прямыми» означает, что углы обращены внутрь полосы, ограниченной этими прямыми. Такое расположение важно: при параллельных прямых эти углы равны.
Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух точек пересечения, а односторонние внутренние лежат между прямыми по одну сторону секущей. Например, соответственные углы можно найти, сравнив их место «над» или «под» прямой и справа или слева от секущей. По названиям пары легко понять, какое соотношение использовать при решении задачи.
Когда секущая пересекает две прямые, у каждой точки пересечения возникают четыре угла, всего — восемь. Их не рассматривают как случайный набор: у углов сравнивают положение относительно прямых и секущей. Так получают соответственные, накрест лежащие и односторонние внутренние пары, для каждой из которых есть своё соотношение.
Если прямые параллельны, соответственные углы равны. Чтобы понять почему, возьмём один такой угол и угол, который лежит накрест с ним при первой прямой: они равны как вертикальные. Этот угол, в свою очередь, равен углу при второй прямой, потому что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны; значит, соответственные углы тоже равны. Связь здесь держится на двух знакомых свойствах: вертикальные углы равны, а накрест лежащие углы у параллельных прямых равны.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Это можно обосновать через углы у одного пересечения: один из рассматриваемых углов равен соответственному углу, поскольку это вертикальные углы. Соответственный угол равен второму накрест лежащему, так как прямые параллельны; поэтому исходные углы равны между собой.
Односторонние внутренние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Один из них равен углу при другом пересечении, который занимает соответственное положение. Этот угол и второй внутренний образуют смежную пару, а смежные углы составляют развёрнутый угол, то есть 180°. Поэтому односторонние внутренние углы не обязаны быть равны, но их сумма всегда постоянна.
Те же соотношения помогают не только находить углы, но и проверять параллельность. Если соответственные углы равны или накрест лежащие углы равны, прямые параллельны; если односторонние внутренние углы в сумме дают 180°, вывод тот же. Это обратные утверждения: мы начинаем с условия об углах и делаем вывод о прямых. Их называют признаками параллельности, чтобы отличать от свойств, которые применяют, когда параллельность уже известна.
В таблице собраны три пары, которые чаще всего встречаются в задачах. Сначала найдите углы между прямыми, затем посмотрите, по одну или по разные стороны секущей они расположены; если углы не внутренние, проверьте, занимают ли они одинаковое положение. После этого выберите нужное соотношение, не забывая, что оно действует при параллельных прямых.
| Пара углов | Расположение | Соотношение при параллельных прямых |
|---|---|---|
| Соответственные | Одинаковое положение у двух точек пересечения | Равны |
| Накрест лежащие | Между прямыми, по разные стороны секущей | Равны |
| Односторонние внутренние | Между прямыми, по одну сторону секущей | В сумме 180° |
Задача 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из соответственных углов равен 68°. Найдите второй. Решение.
Задача 2. Накрест лежащие углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Найдите x и величину углов. Решение.
Задача 3. Односторонние внутренние углы равны 2x + 15° и 4x + 9°. Найдите x и докажите, что прямые параллельны. Решение.
Ошибка — считать соответственными любые углы у двух пересечений. Их положение должно совпадать относительно обеих прямых и секущей, а не только одной из них. Проверьте себя: представьте, что переносите один угол к другому пересечению; если он не занял бы там такое же место, пара не соответственная.
Иногда односторонние внутренние углы приравнивают друг к другу. Так делают, смешивая свойство этой пары со свойством накрест лежащих углов, но односторонние углы при параллельных прямых в общем случае не равны. Самопроверка проста: найдите их сумму — она должна быть 180°.
Накрест лежащие и односторонние углы путают, потому что оба вида находятся внутри полосы между прямыми. Различие только в том, по какую сторону секущей расположены углы: у накрест лежащих стороны разные, у односторонних — одна. Перед вычислениями отметьте секущую и проследите, где относительно неё находится каждый угол.
Нельзя применять свойства параллельных прямых, если их параллельность ещё не установлена. Ошибка появляется, когда условие задачи и требуемый вывод меняют местами: равенство углов может быть не свойством, а основанием для доказательства параллельности. Проверьте ход решения: если параллельность надо доказать, явно назовите подходящий признак и покажите его условие.
Чтобы работать с углами при секущей, нужно знать вертикальные и смежные углы. Вертикальные углы равны, а сумма смежных равна 180° — именно эти факты помогают объяснить соотношения между углами у двух параллельных прямых. Поэтому, если доказательство кажется непонятным, полезно отдельно отметить пары вертикальных и смежных углов.
Признаки параллельности и свойства углов пригодятся в следующих геометрических рассуждениях. С их помощью находят неизвестные величины, обосновывают равенство углов и доказывают геометрические утверждения. В задаче важно различать цель: найти угол, используя уже известную параллельность, или доказать параллельность по углам.
Как определить, какие углы называются соответственными?
Это углы, занимающие одинаковое положение при двух пересечениях: например, оба расположены сверху от своей прямой и с одной и той же стороны секущей. Для проверки сравни положение каждого угла относительно прямой и секущей.
Чем накрест лежащие углы отличаются от односторонних?
Оба вида углов находятся между двумя прямыми. Накрест лежащие расположены по разные стороны секущей, а односторонние — по одну сторону.
Почему односторонние внутренние углы в сумме дают 180°?
Один из этих углов равен углу, соответствующему другому, если прямые параллельны. Этот соответственный угол и второй внутренний образуют смежную пару, а смежные углы в сумме равны 180°.
Как по углам доказать, что прямые параллельны?
Достаточно установить, что соответственные углы равны или накрест лежащие углы равны. Также параллельность следует из того, что сумма односторонних внутренних углов равна 180°.
Можно ли применять свойства углов, если параллельность прямых ещё не доказана?
Нет, свойства равенства углов и суммы 180° применяют, когда параллельность уже известна. Если её нужно доказать, используют обратные утверждения — признаки параллельности.
7.4. Свойства углов, образованных параллельными и секущей
