"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Пятый постулат Евклида описывает, когда две прямые пересекаются, если их пересекает третья прямая — секущая. В условии сравнивают сумму внутренних односторонних углов с 180°. Тот же факт можно выразить иначе: через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая. Долгие попытки доказать этот постулат привели математиков к вопросу, можно ли построить геометрию с другой аксиомой о параллельных. Так возникла геометрия Лобачевского.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пятый постулат Евклида — утверждение о пересечении двух прямых: если сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, прямые пересекаются с этой стороны. Внутренние углы лежат между двумя прямыми, а односторонние — по одну сторону от секущей, прямой, которая пересекает обе прямые. Постулат нужен, чтобы по углам определить, пересекутся ли прямые и где именно.
Аксиома параллельных утверждает, что через точку вне данной прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Аксиома — исходное утверждение, которое принимают без доказательства. Эта формулировка помогает выразить правило о параллельных более наглядно: вместо суммы углов рассматривают точку и прямые.
Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Уточнение «одной плоскости» важно: в геометрии параллельность определяют для прямых, лежащих в одной плоскости. Это понятие нужно, чтобы сформулировать и проверить утверждение о единственной параллельной через заданную точку.
Геометрия Лобачевского — геометрия, построенная при замене евклидова утверждения о единственной параллельной другой аксиомой о параллельных. В ней исходные правила отличаются от правил геометрии Евклида. Это понятие показывает, что можно изучать геометрические системы с разными исходными аксиомами.
Многие простые геометрические утверждения описывают отдельные объекты или отношения между ними, а пятый постулат задаёт правило поведения прямых на плоскости. Чтобы понять его, берут две прямые и проводят через них секущую. Тогда появляются пары углов, и одна из них — внутренние односторонние углы — позволяет судить о пересечении прямых. Так постулат связывает расположение прямых с измеряемыми величинами углов.
Сумма внутренних односторонних углов сравнивается с 180°, то есть с развёрнутым углом. Если сумма меньше 180°, постулат утверждает, что прямые встретятся именно с той стороны секущей, где расположены эти углы. Если сумма равна 180°, прямые параллельны в евклидовой геометрии. Сравнение нужно, потому что сами по себе отдельные углы не показывают, с какой стороны прямые сблизятся.
Вместо правила о сумме углов можно сказать, сколько параллельных прямых проходит через точку вне данной прямой. В евклидовой геометрии такая прямая ровно одна. Эти формулировки равносильны: каждая выражает ту же особенность расположения прямых, что и другая. Форма с точкой часто кажется нагляднее, потому что в ней сразу названо число возможных параллельных.
Пятый постулат долго пытались получить из других геометрических аксиом, словно это была теорема, которую просто ещё не удалось доказать. Но постулат задаёт отдельное исходное правило о параллельных, и его нельзя вывести из остальных аксиом евклидовой геометрии без дополнительных предположений. Поэтому поиски доказательства привели к проверке того, что получится, если принять другое правило. Так стало понятно, почему одной только очевидности чертежа недостаточно для доказательства.
Если вместо евклидова правила принять другую аксиому о параллельных, возникает геометрия Лобачевского. В ней меняется исходное условие, поэтому некоторые свойства прямых и фигур оказываются другими. Это не означает, что в евклидовой геометрии можно провести через точку две параллельные: там по-прежнему действует правило о единственной параллельной. Сравнение систем показывает, что выводы геометрии зависят от принятых аксиом.
| Что рассматривается | Формулировка пятого постулата | Формулировка об единственной параллельной |
|---|---|---|
| Исходные объекты | Углы, образованные прямыми и секущей | Прямая и точка вне неё |
| Условие или утверждение | Если сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, прямые пересекаются с этой стороны | Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая |
| Что описывает | Когда две прямые пересекаются | Сколько параллельных можно провести через точку |
| Связь формулировок | Равносильна формулировке об единственной параллельной | Равносильна пятому постулату |
В таблице сравниваются не два разных правила, а два равносильных способа выразить евклидову аксиому о параллельных. Если в задаче даны углы и секущая, удобнее пользоваться формулировкой через 180°. Если известны точка и прямая, проще применить утверждение о единственной параллельной.
Задача 1. Сформулируйте пятый постулат Евклида своими словами и укажите, при каком условии прямые пересекутся. Здесь важно не спутать угол с суммой двух углов и правильно назвать сторону, где произойдёт пересечение. Сначала вспомним, какие именно углы рассматриваются.
Ответ: если сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, прямые пересекаются с той стороны секущей, где расположены эти углы. Такая последовательность помогает не перепутать условие и направление пересечения. Если сумма равна 180°, прямые параллельны в евклидовой геометрии.
Задача 2. Через точку вне прямой проведена параллельная этой прямой. Сколько ещё параллельных допускает евклидова аксиома? Вопрос проверяет, понимаем ли мы слово «ровно» в формулировке аксиомы. Не нужно измерять углы или строить дополнительные прямые.
Ответ: ни одной дополнительной параллельной. Единственная параллельная уже проведена, поэтому другая прямая через ту же точку не может быть параллельна данной в евклидовой геометрии. Решение основано на аксиоме, а не на том, насколько аккуратно выполнен чертёж.
Задача 3. Объясните, почему появление геометрии Лобачевского не означает, что в евклидовой геометрии можно провести через точку две параллельные. Здесь нужно сравнить не отдельные чертежи, а исходные правила двух геометрий. Ключ к ответу — выяснить, одинаковую ли аксиому о параллельных используют обе системы.
Ответ: геометрия Лобачевского использует другую аксиому, а в евклидовой геометрии сохраняется правило о единственной параллельной. Поэтому появление новой системы не меняет ответ внутри евклидовой геометрии. Разные аксиомы дают разные теории, а не противоречащие друг другу ответы на один вопрос в одной системе.
Неверно считать, что пятый постулат просто утверждает: параллельные прямые не пересекаются. Это определение параллельности, а постулат связывает углы при секущей с пересечением прямых. Ошибку допускают, потому что оба высказывания говорят о параллельных. Проверьте себя: в формулировке пятого постулата должны быть внутренние односторонние углы и условие об их сумме.
Можно назвать любые два угла при секущей внутренними односторонними. В действительности они должны находиться между рассматриваемыми прямыми и по одну сторону от секущей. Путаница возникает, когда смотрят только на близость углов к секущей. Проверьте расположение: оба угла должны быть внутри полосы между прямыми и с одной стороны секущей.
Ошибка — заключить, что при сумме 180° прямые пересекаются. Для евклидовой геометрии такое условие означает параллельность прямых, а пересечение по пятому постулату происходит, если сумма меньше 180°. Так ошибаются, когда запоминают число, но не сравнение с ним. Проверьте знак: «меньше 180°» означает пересечение с этой стороны, «равно 180°» — параллельность.
Геометрию Лобачевского иногда называют доказательством пятого постулата. Но она строится не на доказательстве евклидова правила, а на другой аксиоме о параллельных. Ошибка возникает из-за того, что обе темы связаны с одним и тем же вопросом. Проверьте себя: спросите, какое исходное правило принято в рассматриваемой геометрии, и не переносите выводы между системами без основания.
Для изучения постулата нужны понятия прямой, секущей, внутренних односторонних углов и параллельных прямых. Также важно знать, что аксиому принимают без доказательства: это помогает отличить исходное правило от теоремы. Вопрос о пятом постулате связан с основаниями геометрии — изучением того, из каких утверждений строится теория. Позже эти идеи пригодятся при знакомстве с геометрией Лобачевского и сравнением разных систем аксиом.
Почему пятый постулат называют проблемой?
Он казался менее очевидным и более сложным, чем другие исходные утверждения геометрии. Математики долго пытались доказать его из остальных аксиом, но выяснилось, что при иной аксиоме о параллельных можно построить другую геометрию.
Как звучит пятый постулат Евклида?
Если две прямые пересечены третьей и сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые пересекаются на той стороне секущей, где сумма углов меньше 180°. Это одна из привычных формулировок постулата.
Что значит «внутренние односторонние углы»?
Это два угла, расположенные между рассматриваемыми прямыми и по одну сторону от секущей. Их сравнивают с развёрнутым углом, равным 180°. Именно сумма этой пары определяет сторону возможного пересечения по пятому постулату.
Почему через точку вне прямой проходит только одна параллельная?
Таково содержание евклидовой аксиомы параллельных: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, которая её не пересечёт. Это не отдельное следствие простого чертежа, а исходное утверждение геометрии Евклида, равносильное пятому постулату.
Чем геометрия Лобачевского отличается от евклидовой?
В геометрии Лобачевского принимают другую аксиому о параллельных, чем в евклидовой геометрии. Поэтому некоторые свойства прямых и фигур в этих системах различаются. Речь идёт о разных геометрических теориях, а не о двух ответах внутри одной и той же системы.
7.3. Проблема пятого постулата
