33. Сумма углов треугольника

Определения и обозначения

Внутренние углы треугольника — три угла, образованные его сторонами внутри треугольника. Если вершины обозначены A, B и C, углы записывают как ∠A, ∠B и ∠C. Эти обозначения помогают точно указать, о каком угле идёт речь. По ним удобно записывать условие задачи и выполнять вычисления.

Сумма углов треугольника — сумма величин его внутренних углов: ∠A + ∠B + ∠C. В этой записи складываются именно величины углов, например 50° и 60°, а не длины сторон. Понятие суммы нужно, чтобы выразить связь между всеми тремя углами сразу. Оно позволяет находить неизвестный угол, если известны два остальных.

Теорема о сумме углов треугольника — утверждение, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Слово «теорема» означает утверждение, истинность которого доказывают. Равенство выполняется для любого треугольника: острого, прямоугольного или тупоугольного. Оно служит основным правилом для вычисления углов в таких фигурах.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних углов; он образуется стороной треугольника и продолжением соседней стороны. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны лежат на одной прямой. Поэтому внутренний и внешний углы вместе составляют 180°. Внешний угол рассматривают, когда нужно связать его с двумя внутренними углами, не смежными с ним.

Как это устроено

Чтобы доказать теорему, через одну вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Например, через вершину A проводят прямую, параллельную стороне BC. Стороны AB и AC пересекают эту прямую и становятся секущими. Благодаря параллельности можно применить свойство накрест лежащих углов: такие углы равны.

У вершины A на проведённой прямой оказываются три соседних угла: один равен углу B, другой — углу C, а между ними расположен угол A. Вместе эти три угла составляют развёрнутый угол, то есть 180°, потому что их внешние стороны образуют прямую. Подставляя вместо двух углов их равные углы треугольника, получаем ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Так равенство следует из свойств параллельных прямых и развёрнутого угла.

Если два внутренних угла известны, третий можно определить без измерений транспортиром. Обозначим неизвестный угол через x: тогда x вместе с двумя известными углами должен дать 180°. Значит, надо сложить известные величины и вычесть результат из 180°. Такой способ работает, потому что сумма трёх углов фиксирована для любого треугольника.

Внешний угол и смежный с ним внутренний образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. С другой стороны, по теореме эта же величина равна сумме трёх внутренних углов треугольника. Если из обоих выражений вычесть смежный внутренний угол, внешний останется равен сумме двух других внутренних углов. Именно поэтому для внешнего угла используют два угла, не имеющих с ним общей вершины-смежного положения, а не один из них.

Теорема также ограничивает возможные величины углов. Прямой угол равен 90°, и два таких угла уже исчерпали бы всю сумму 180°, не оставив величины для третьего. Тупой угол больше 90°, поэтому два тупых угла тем более дали бы сумму больше 180°. Следовательно, в треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов; эти выводы помогают проверять условия задач.

Связи между углами треугольника

Сначала выясните, какие именно углы указаны в условии: внутренние, смежные или внешние. Затем выберите строку таблицы, которая описывает эту связь, и подставьте известные величины. В конце проверьте, что полученные внутренние углы в сумме дают 180°.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий угол. Нужно связать все три внутренних угла с помощью теоремы, а затем определить, сколько градусов осталось до 180°. Так мы не предполагаем форму треугольника и используем общее свойство.

1. Сложим известные углы: 48° + 67° = 115°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Проверим: 48° + 67° + 65° = 180°.

Ответ: третий угол равен 65°. Проверка подтверждает, что сумма всех внутренних углов соответствует теореме.

Задача 2. Внешний угол треугольника равен 125°, один из не смежных с ним внутренних углов — 52°. Найдите второй. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому от его величины нужно отнять известный удалённый угол, а не смежный внутренний угол.

1. Обозначим второй несмежный внутренний угол через x.
2. Запишем соотношение: 125° = 52° + x.
3. Найдём x: 125° − 52° = 73°.

Ответ: второй угол равен 73°. Сумма удалённых углов 52° + 73° действительно равна внешнему углу 125°.

Задача 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите их величины. Отношение показывает, что углы состоят из одинаковых долей: первый содержит две такие доли, второй — три, третий — четыре. Если одна доля равна x градусов, все три угла можно выразить через x и сложить.

1. Обозначим углы через 2x, 3x и 4x.
2. По теореме составим уравнение: 2x + 3x + 4x = 180°, то есть 9x = 180°.
3. Разделим обе части на 9: x = 20°. Тогда углы равны 40°, 60° и 80°.
4. Проверим: 40° + 60° + 80° = 180°, а отношение 40:60:80 сокращается до 2:3:4.

Ответ: углы равны 40°, 60° и 80°. Проверка подтверждает и сумму, и заданное отношение.

Типичные ошибки

Считать, что сумма углов меняется вместе с формой или размером треугольника, — ошибка: у вытянутого и почти равностороннего треугольников сумма всё равно равна 180°. Такое заблуждение возникает, если судить по внешнему виду чертежа. Проверяйте вычисления по теореме, а не по тому, насколько большим кажется угол на рисунке. Ни длины сторон, ни вид треугольника не меняют сумму его внутренних углов.

При нахождении третьего угла иногда вычитают известные углы из 360°. Число 360° относится к полному обороту, а не к сумме углов треугольника; здесь нужна величина 180°. Ошибку часто допускают, смешивая разные виды углов. Для проверки сложите три найденных внутренних угла: результат должен быть 180°.

Внешний угол можно перепутать с внутренним углом, который расположен напротив него. Но внешний угол образуется продолжением стороны и смежен с одним внутренним углом; напротив него находятся два других внутренних угла. Путаница возникает из-за словесного описания положения углов. Отметьте общую вершину и стороны: смежный внутренний угол вместе с внешним должен составить 180°.

Ещё одна ошибка — приравнять внешний угол к одному из двух несмежных внутренних углов. Внешний угол равен не каждому из них по отдельности, а их сумме. Такое неверное равенство может казаться правдоподобным, если забыть свойство внешнего угла. Подставьте найденные значения: сумма двух несмежных углов должна совпасть с внешним, а сами они могут быть различными.

Связь с другими темами

Для доказательства теоремы нужны понятия угла, смежных углов и развёрнутого угла: смежные углы в сумме дают 180°, а развёрнутый угол равен 180°. Также используется свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых. Если эти правила пока вызывают затруднение, полезно повторить их и выяснить, какие стороны образуют каждый угол. Тогда доказательство суммы углов треугольника будет понятнее.

Теорема применяется при решении задач, где нужно найти углы треугольника или проверить, возможны ли заданные значения. Она также помогает обосновывать свойства треугольников, в том числе равнобедренного. В таких задачах сначала используют сумму углов, а затем связывают результат с дополнительным условием. Например, равные углы можно обозначить одной величиной и составить уравнение.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Неизвестный угол треугольника равен 180° минус сумма двух известных.
• Внутренний и смежный с ним внешний углы в сумме дают 180°.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов.