"Геометрия", Погорелов А.В.
Внешний угол треугольника появляется, когда одну из его сторон продолжают за вершину. Он связан с внутренним углом при той же вершине: вместе они составляют 180°. Кроме того, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не прилежащих к нему, поэтому с его помощью можно находить неизвестные углы. Если взять по одному внешнему углу при каждой вершине, их сумма окажется равна 360°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внешний угол треугольника — угол, образованный одной стороной треугольника и продолжением другой стороны. Он расположен за пределами треугольника и имеет вершину в одной из его вершин. Это определение помогает отличить внешний угол от любого угла, который просто находится рядом с треугольником. Для вычислений важно точно установить, какие две стороны образуют рассматриваемый угол.
Прилежащий внутренний угол — внутренний угол треугольника, имеющий общую сторону с внешним углом. Он находится при той же вершине, что и внешний угол. Это название нужно, чтобы не перепутать его с двумя другими углами треугольника. Прилежащий угол вместе с внешним образует развёрнутый угол.
Неприлежащие внутренние углы — два внутренних угла треугольника, которые не имеют общей стороны с данным внешним углом. Они расположены при двух остальных вершинах. Их удобно рассматривать вместе, потому что именно их сумма равна внешнему углу. Так можно найти внешний угол, даже если прилежащий внутренний угол неизвестен.
Сумма внешних углов треугольника — сумма по одному внешнему углу при каждой вершине, равная 360°. При вершине можно образовать внешний угол, продолжив одну из двух сторон, поэтому заранее выбирают только один из них. Это уточнение необходимо, чтобы правильно применять правило суммы. Оно позволяет проверять вычисления и находить неизвестные внешние углы.
Чтобы получить внешний угол при вершине, продолжи одну из сторон треугольника за эту вершину. Продолженная часть стороны образует с другой стороной угол за пределами треугольника. Если продолжить вместо этого другую сторону, получится ещё один внешний угол при той же вершине. В задачах всегда следи, какой именно угол дан или требуется найти: они оба смежны с одним внутренним углом и потому равны.
Внешний угол и прилежащий к нему внутренний имеют общую вершину и одну сторону. Две другие стороны лежат на одной прямой в противоположных направлениях, потому что одна из них является продолжением другой. Такие углы называются смежными, а их сумма составляет развёрнутый угол — 180°. Поэтому, если известен внешний угол, прилежащий внутренний находят вычитанием из 180°.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Обозначим прилежащий внутренний угол через α, а два других — через β и γ; тогда α + β + γ = 180°. Внешний угол смежен с α, поэтому его величина равна 180° − α. Из первого равенства следует, что 180° − α = β + γ. Значит, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не прилежащих к нему.
Из теоремы сразу получается сравнение величин углов. Внешний угол равен сумме двух неприлежащих внутренних углов, а каждый из них больше нуля. Поэтому сумма больше каждого слагаемого, и внешний угол больше каждого из этих двух внутренних углов. Это утверждение помогает проверять ответ: если найденный внешний угол оказался меньше одного из неприлежащих, значит, в решении есть ошибка.
Возьмём по одному внешнему углу при каждой из трёх вершин. Каждый из них в сумме со своим прилежащим внутренним углом даёт 180°, поэтому сумма трёх внешних углов равна 3 · 180° минус сумма внутренних углов треугольника. Внутренние углы вместе дают 180°, значит, для внешних получаем 540° − 180° = 360°. Результат относится именно к выбору по одному внешнему углу при каждой вершине.
| Элемент или свойство | Что известно | Формула или вывод |
|---|---|---|
| Внешний угол | Образуется стороной треугольника и продолжением соседней стороны | Рассматривается при одной из вершин треугольника |
| Прилежащий внутренний угол | Имеет общую сторону с внешним углом | Внешний угол + прилежащий угол = 180° |
| Неприлежащие внутренние углы | Два внутренних угла, не прилежащих к данному внешнему углу | Внешний угол равен их сумме |
| Сумма внешних углов | Берётся по одному внешнему углу при каждой вершине | Сумма равна 360° |
| Следствие теоремы | Внешний угол больше каждого из неприлежащих внутренних углов | Сумма двух положительных углов больше каждого из них |
В таблице сначала найди название угла или свойства, а затем проверь, какие углы с ним связаны. Если известен прилежащий угол, пользуйся суммой 180°; если известны два неприлежащих — складывай их. Для суммы 360° учитывай только по одному внешнему углу при каждой вершине.
В треугольнике один внутренний угол равен 45°, а внешний угол при другой вершине равен 120°. Найти соответствующий прилежащий внутренний угол. Для ответа достаточно свойства смежных углов: внутренний и внешний углы при одной вершине вместе составляют 180°. Угол 45° здесь не нужен, потому что он расположен при другой вершине.
Ответ: 60°. Проверка: 60° + 120° = 180°, значит, углы действительно смежные.
Два неприлежащих к внешнему углу угла треугольника равны 35° и 65°. Найти внешний угол. Не нужно сначала искать третий внутренний угол: теорема о внешнем угле сразу связывает его с двумя данными углами. Сложим значения неприлежащих углов.
Ответ: 100°. Проверим, что внешний угол больше каждого слагаемого: 100° больше и 35°, и 65°.
Внешние углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найти их величины и внутренние углы треугольника. Отношение показывает, что углы можно записать как 2x, 3x и 4x. Для начала используем сумму внешних углов 360°, а после найдём внутренний угол при каждой вершине через смежность.
Ответ: внешние углы — 80°, 120° и 160°; внутренние — 100°, 60° и 20°.
Ошибка: считать внешним любой угол рядом с треугольником. Так ошибаются, если смотрят только на положение угла, а не на его стороны. Внешний угол должен образоваться стороной треугольника и продолжением другой стороны при общей вершине. Проверь, что одна его сторона действительно является продолжением стороны треугольника.
Ошибка: складывать внешний угол с двумя неприлежащими как углы треугольника. Внешний угол расположен снаружи и не входит в сумму внутренних углов треугольника. Такое смешение возникает, когда все отмеченные углы принимают за внутренние. Проверь, какие три угла образуют сам треугольник, и не включай внешний в их сумму 180°.
Ошибка: приравнивать внешний угол не к тем углам. Он равен сумме двух неприлежащих внутренних углов, а не сумме внешних или прилежащего и неприлежащего. Путаница появляется из-за похожих названий и расположения углов. Сначала обозначь вершину внешнего угла: два угла при остальных вершинах будут неприлежащими.
Ошибка: складывать все шесть внешних углов или брать по два при вершине. При каждой вершине можно получить два внешних угла, но правило 360° относится к выбору только одного. Ученик может посчитать все отмеченные углы, не проверив условие теоремы. Для самопроверки отметь по одному внешнему углу у каждой из трёх вершин.
Для доказательства свойств внешнего угла нужны сумма внутренних углов треугольника и правило о смежных углах. Знание равных углов помогает работать с чертежами и сопоставлять углы при решении задач. Свойства внешних углов пригодятся при нахождении неизвестных углов треугольника и при доказательстве неравенства треугольника. Позже похожие рассуждения используют при изучении многоугольников и их углов.
Как правильно определить внешний угол треугольника?
Продолжи одну из сторон треугольника за вершину. Угол между продолжением этой стороны и другой стороной треугольника будет внешним.
Почему внешний угол равен сумме двух неприлежащих углов?
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, и внешний угол с прилежащим к нему внутренним углом тоже составляет 180°. Если выразить внешний угол из второго равенства, получится сумма двух остальных внутренних углов.
Можно ли считать внешними оба угла, образованные продолжением стороны?
При вершине можно получить два внешних угла, продолжив одну или другую из сходящихся там сторон. Они равны, поскольку оба смежны с одним и тем же внутренним углом.
Почему сумма внешних углов треугольника равна 360°?
Каждый из трёх внешних углов дополняет свой внутренний угол до 180°. Сумма трёх внешних углов поэтому равна 3 · 180° минус сумма внутренних углов, то есть 540° − 180° = 360°.
Как найти внутренний угол, если известен внешний?
Внутренний угол, прилежащий к внешнему, дополняет его до 180°. Поэтому нужно вычислить 180° минус величина внешнего угла.
34. Внешние углы треугольника
