35. Прямоугольный треугольник

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Два других угла называются острыми: каждый из них меньше 90°. Это определение помогает сразу понять, какие правила можно применять к треугольнику.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. На чертеже сначала находят прямой угол, а затем смотрят на противоположную ему сторону. Так гипотенузу не перепутаешь с катетом, даже если рисунок выполнен не в масштабе.

Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. На чертеже это стороны, которые сходятся в вершине с прямым углом. Понимание, где находятся катеты, нужно, чтобы различать стороны напротив и рядом с острыми углами.

Угол в 30° в прямоугольном треугольнике — один из острых углов, для которого действует особое соотношение: противолежащий ему катет равен половине гипотенузы. Противолежащая сторона не касается вершины этого угла. Это правило помогает находить сторону или распознавать угол по известным длинам.

Как это устроено

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один из углов уже занимает 90°, поэтому на два оставшихся вместе приходится 180° − 90° = 90°. Значит, если известен один острый угол, второй можно найти вычитанием его величины из 90°.

Прямой угол образован двумя сторонами, которые сходятся в его вершине, — это и есть катеты. Третья сторона соединяет вершины острых углов и находится напротив прямого угла, поэтому она называется гипотенузой. Например, если прямой угол отмечен в вершине B треугольника ABC, то AB и BC — катеты, а AC — гипотенуза. Такая проверка по расположению надёжнее, чем оценка длины стороны на рисунке.

Чтобы получить свойство угла 30°, можно достроить прямоугольный треугольник до равностороннего. Пусть в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 30°, а гипотенуза равна c. Если приложить к нему его копию по гипотенузе, получится равносторонний треугольник со стороной c: при вершине прямого угла два угла по 90° составят 180°, а углы по 30° дадут по 60° в остальных вершинах. Общая гипотенуза становится стороной равностороннего треугольника, а исходный катет напротив угла 30° — половиной его основания. Поэтому этот катет равен c : 2.

Верно и обратное утверждение. Пусть катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы; достроим треугольник так же, как при выводе свойства. Две копии образуют равносторонний треугольник, потому что его стороны равны гипотенузе, а основание состоит из двух отрезков, каждый из которых равен половине гипотенузы. Угол напротив данного катета — половина угла равностороннего треугольника, то есть 60° : 2 = 30°.

Эти свойства позволяют находить неизвестные элементы без измерения на чертеже. Если известен угол 30° и гипотенуза, делят длину гипотенузы пополам и получают противолежащий катет. Если известны гипотенуза и катет, сравнивают их длины: равенство катета половине гипотенузы указывает на угол 30° напротив него. Второй острый угол затем находят по сумме 90°.

Основные свойства прямоугольного треугольника

Сначала определи, какие стороны и углы указаны в задаче, а затем выбери подходящую строку таблицы. Для правила про 30° обязательно проверь, что речь идёт о катете напротив этого угла. Если требуется второй острый угол, используй сумму 90°.

Разбор задач

В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 37°. Найдите второй острый угол.

1. Вспомним, что острые углы прямоугольного треугольника вместе дают 90°.
2. Обозначим второй острый угол через x и составим равенство: x + 37° = 90°.
3. Вычтем 37° из 90°: x = 90° − 37° = 53°. Проверка: 37° + 53° = 90°.

Ответ: 53°.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 18 см, а один острый угол — 30°. Найдите катет, лежащий напротив этого угла.

1. Найденный угол равен 30°, поэтому к задаче подходит свойство катета, лежащего напротив угла 30°.
2. Этот катет составляет половину гипотенузы, значит, его длина равна 18 : 2.
3. Вычислим: 18 : 2 = 9 см. Указание, что нужен именно противолежащий катет, позволяет выбрать правильную сторону.

Ответ: 9 см.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 14 см, один катет — 7 см. Найдите угол, лежащий напротив этого катета, и второй острый угол.

1. Половина гипотенузы равна 14 : 2 = 7 см, то есть совпадает с длиной данного катета.
2. По обратному свойству угол напротив этого катета равен 30°. Здесь важно искать угол именно напротив стороны длиной 7 см.
3. Второй острый угол равен 90° − 30° = 60°. Вместе с прямым углом получаем сумму 30° + 60° + 90° = 180°.

Ответ: 30° и 60°.

Типичные ошибки

Ошибка — называть гипотенузой просто самый длинный катет. Её допускают, когда судят только по виду чертежа или забывают, что название стороны связано с прямым углом. Проверь себя: гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, а стороны, образующие его, — катеты.

Иногда считают, что любой катет, равный половине гипотенузы, сразу подходит для свойства угла 30°, не проверяя расположение. Здесь перепутаны длина стороны и её положение относительно угла. Найди угол, лежащий напротив данного катета: именно он равен 30°.

Можно перепутать противолежащий катет с прилежащим и взять не ту сторону. Обычно это случается, если не проследить, какие стороны касаются вершины угла. Проверь: противолежащий катет не имеет общей вершины с углом 30°, а прилежащий имеет; половине гипотенузы равен первый.

Второй острый угол иногда находят вычитанием из 180°, забывая учесть прямой угол. Причина ошибки — применение суммы углов всего треугольника вместо суммы двух острых углов. Для второго острого угла вычитай известный острый угол из 90°; в конце можно проверить, что все три угла дают 180°.

Связь с другими темами

До изучения прямоугольного треугольника нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°, и уметь отличать острый угол от прямого и тупого. Эти знания объясняют, почему два острых угла в сумме дают 90°. Свойства прямоугольного треугольника пригодятся при решении задач на нахождение сторон и углов, а также при изучении признаков равенства прямоугольных треугольников.

Что запомнить

• В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Катеты образуют прямой угол.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.