36. Существование и единственность перпендикуляра к прямой

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются и образуют прямой угол, то есть угол в 90°. Запись a ⟂ b читают: «прямая a перпендикулярна прямой b». Обозначение помогает коротко указать, что угол между прямыми прямой, а не просто острый или тупой.

Перпендикуляром к прямой из точки называют отрезок, проведённый из этой точки к прямой под прямым углом. Например, если точка A находится вне прямой a, а отрезок AB встречает a под углом 90°, то AB — перпендикуляр из A к a. Такой отрезок нужен, чтобы соединить точку с прямой кратчайшим особым способом — под прямым углом.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает данную прямую. В примере с отрезком AB точка B лежит на прямой a и является основанием перпендикуляра. Название относится именно к точке: сам отрезок и его основание — разные объекты.

Теорема о существовании и единственности перпендикуляра утверждает: из любой точки к данной прямой можно провести ровно один перпендикуляр. Существование гарантирует, что перпендикуляр есть, а единственность запрещает второй. Это важно при построениях: можно быть уверенным, что требуемое положение не только возможно, но и определено однозначно.

Как это устроено

Сначала нужно различить два положения заданной точки: она лежит на прямой или находится вне её. В обоих случаях ищут прямую, проходящую через заданную точку и образующую с данной прямой угол 90°. Если точка уже лежит на прямой, эти две прямые пересекаются именно в ней; если точка вне прямой, перпендикуляр пересечёт её в другой точке. Различие влияет на положение основания, но не на утверждение теоремы.

Существование означает, что нужный угол можно получить для каждого положения точки. Через точку проводят прямую так, чтобы она образовала с данной прямой прямой угол; это можно выполнить, например, угольником, приложив его одну сторону к прямой. Для точки вне прямой пересечение проведённой прямой с исходной даёт основание, а часть перпендикулярной прямой между заданной точкой и основанием — отрезок-перпендикуляр. Для точки на прямой основанием становится сама заданная точка.

Теперь докажем, что из точки вне прямой нельзя провести два разных перпендикуляра. Предположим обратное: из точки A проведены разные отрезки AB и AC, причём B и C лежат на прямой, а оба отрезка перпендикулярны ей. Если основания различны, точки A, B и C образуют треугольник ABC. Углы при B и C прямые, поэтому их сумма уже равна 180°, но у треугольника есть ещё третий угол. Это противоречит тому, что сумма углов треугольника равна 180°; значит, двух разных перпендикуляров быть не может.

Точка пересечения перпендикуляра и данной прямой называется основанием потому, что в ней отрезок заканчивается на прямой, словно опирается на неё. В записи a ⟂ b говорится о взаимном положении прямых, а не об отдельном отрезке или точке. Если из A опущен перпендикуляр AB на прямую a, то B — основание, а прямые AB и a перпендикулярны. Такое различение помогает точно описывать построение и доказательство.

Две части теоремы отвечают на разные вопросы. Существование отвечает на вопрос «можно ли провести перпендикуляр?» и требует показать способ или основание для его построения. Единственность отвечает на вопрос «может ли быть больше одного?» и требует исключить второй вариант. Поэтому одного факта о возможности построения недостаточно, чтобы доказать, что перпендикуляр только один.

Перпендикуляр к прямой в зависимости от положения точки

Сначала найди в таблице строку, которая описывает положение заданной точки, а затем проверь, что перпендикуляр существует и он единственный. Последняя строка не задаёт новое положение точки: она напоминает, что именно называют основанием. Не смешивай число перпендикуляров с числом объектов: прямая, отрезок-перпендикуляр и его основание обозначают разные вещи.

Разбор задач

Задача 1

Точка A лежит на прямой a. Объясните, можно ли провести через A перпендикуляр к a и сколько таких прямых. Нужно ответить о прямой, проходящей через A, а не только об отрезке. Теорема о существовании и единственности применяется и тогда, когда заданная точка находится на самой прямой.

1. По теореме из точки A к прямой a можно провести перпендикуляр.
2. Поскольку A лежит на a, перпендикулярная прямая пересечёт a в точке A.
3. Единственность теоремы означает, что второй такой прямой через A нет.

Ответ: провести можно ровно одну прямую, перпендикулярную a. Отрезок-перпендикуляр в этом случае вырождается в точку A: его начало и основание совпадают.

Задача 2

Точка A не лежит на прямой a. Через A проведены прямые AB и AC, перпендикулярные a, причём B и C лежат на a. Докажите, что B = C. Если основания были бы разными, можно было бы сравнить их с одной и той же точкой A. Поэтому удобно начать с предположения B ≠ C и проверить, к чему оно приводит.

1. Предположим, что B и C — разные точки прямой a.
2. Точки A, B и C образуют треугольник ABC: A не лежит на a, а B и C — разные точки a.
3. Так как AB и AC перпендикулярны a, углы ABC и ACB прямые.
4. Два угла треугольника уже дают 90° + 90° = 180°, но третий угол должен быть положительным. Это невозможно, потому что сумма углов треугольника равна 180°.
5. Предположение о разных основаниях неверно, значит, B и C совпадают.

Ответ: B = C. Следовательно, две проведённые прямые не могут давать разные основания перпендикуляров к a из точки A.

Задача 3

Предположим, что через точку A вне прямой a проведены два разных перпендикуляра AB и AC к a. Найдите противоречие и сформулируйте вывод. Здесь не требуется строить перпендикуляр: нужно проверить, возможно ли исходное предположение. Для этого рассматривают фигуру, которую образуют A и основания B, C.

1. Так как B и C лежат на a, а A вне a, при B ≠ C точки A, B и C образуют треугольник ABC.
2. Из AB ⟂ a следует, что угол ABC равен 90°; из AC ⟂ a следует, что угол ACB тоже равен 90°.
3. Сумма этих двух углов равна 180°, поэтому третьему углу треугольника не остаётся места.
4. Но сумма углов треугольника равна 180°, а каждый его угол положителен. Получено противоречие.

Ответ: двух разных перпендикуляров быть не может. Из точки A к прямой a проводится только один перпендикуляр.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что перпендикуляр бывает только отрезком. Её допускают, потому что при проведении перпендикуляра часто показывают отрезок от точки до прямой. Проверь себя: прямыми называют линии, образующие прямой угол, а отрезок от точки до основания — перпендикуляром к прямой.

Ошибка — называть основанием весь перпендикуляр. Такое смешение возникает, если не разделять отрезок и точку, где он встречает прямую. Чтобы проверить ответ, спроси себя: можно ли указать основание одной буквой, например B? Да: B — точка пересечения, а AB — отрезок.

Ошибка — считать единственность доказанной тем, что перпендикуляр можно провести. Так происходит, когда существование и единственность принимают за одно и то же утверждение. Проверь доказательство вопросом: исключён ли второй вариант? Если показано лишь, как получить первый, единственность ещё не доказана.

Ошибка — думать, что через точку на прямой нельзя провести перпендикуляр. Возможно, кажется, что перпендикуляр обязательно должен соединять точку вне прямой с её основанием. Но теорема относится и к точке на прямой: через неё проходит единственная перпендикулярная прямая, а основание совпадает с этой точкой.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, какой угол называется прямым, что такое перпендикулярные прямые и чему равна сумма углов треугольника. Последнее свойство позволяет доказать единственность перпендикуляра от противного: предположение о двух перпендикулярах приводит к невозможному треугольнику. Перпендикуляр понадобится при изучении расстояния от точки до прямой и свойств параллельных прямых. Рассуждение от противного также используют, когда в геометрии доказывают, что построенный объект только один.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Из любой точки можно провести перпендикуляр к данной прямой.
• К данной прямой из данной точки перпендикуляр проводится только один.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с прямой.
• Два перпендикуляра из одной точки к одной прямой привели бы к треугольнику с двумя прямыми углами.