§17. Прямоугольный треугольник

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого прямой, то есть равен 90°. Его распознают по отметке прямого угла или по известной величине угла. Это определение сразу показывает, что перед нами не произвольный треугольник: его стороны и углы обладают особыми свойствами.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Например, если прямой угол находится при вершине C, то напротив него лежит сторона AB — это гипотенуза. Её положение удобно определить первым: тогда легче не перепутать остальные стороны.

Катеты — две стороны, которые образуют прямой угол. Если прямой угол C образован сторонами AC и BC, то именно они являются катетами, а AB — гипотенузой. Такое обозначение помогает точно указать нужную сторону в задаче.

Дополнительные углы — два угла, сумма которых равна 90°. Два острых угла прямоугольного треугольника как раз дополнительные. Поэтому, зная один из них, можно найти второй вычитанием его величины из 90°.

Как это устроено

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один из этих углов уже занимает 90°, поэтому на два оставшихся вместе остаётся 180° − 90° = 90°. Оба угла острые: каждый меньше прямого угла. Значит, если величина одного известна, второй можно найти как 90° минус первый.

Гипотенуза лежит напротив прямого угла, а оба других угла острые и меньше 90°. Напротив большего угла треугольника всегда лежит большая сторона, поэтому сторона напротив прямого угла длиннее сторон напротив острых углов. Так получают важный ориентир: гипотенуза длиннее каждого катета. Если в вычислениях вышло обратное, стоит проверить, не перепутаны ли стороны.

Пусть один острый угол равен 30°. Тогда другой равен 60°, ведь острые углы дополняют друг друга до 90°. Чтобы увидеть связь сторон, мысленно возьмём такой треугольник и построим ему равную копию, отразив её по катету, который лежит напротив угла 30°. Два треугольника сложатся в равносторонний треугольник: его углы будут по 60°, а все стороны — равны.

В получившемся равностороннем треугольнике гипотенузы двух исходных треугольников становятся его равными сторонами. Катет напротив угла 30° составляет половину третьей стороны: он делит её пополам при построении. Значит, этот катет равен половине гипотенузы. Рассуждение объясняет не только правило, но и то, почему речь идёт именно о катете напротив 30°.

Есть и обратное утверждение: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то напротив этого катета лежит угол 30°. Это следует из того же рассуждения с равносторонним треугольником: половина гипотенузы соответствует стороне напротив 30°. Правило позволяет находить угол по длинам сторон, даже если величины углов не даны. Если известно, что катет равен 7 см, а гипотенуза — 14 см, сразу можно установить угол напротив катета.

Определения и свойства прямоугольного треугольника

Пользуйтесь таблицей после того, как нашли прямой угол и определили стороны относительно него. Для задачи на углы выберите строку про острые углы, а для задачи со стороной напротив 30° — последнюю строку. Проверяйте, что рассматривается именно прямоугольный треугольник.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 37°. Найдём второй острый угол. Два острых угла в сумме составляют 90°, поэтому нужно вычесть известный угол из 90°.

1. Запишем сумму острых углов: 90°.
2. Вычтем известный угол: 90° − 37° = 53°.
3. Проверим: 37° + 53° = 90°.

Ответ: второй острый угол равен 53°.

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см, один острый угол — 30°. Требуется найти катет напротив этого угла. Здесь известны обе величины, нужные для свойства угла 30°: угол и гипотенуза.

1. Определим нужную сторону: это катет напротив угла 30°, а не катет, который образует этот угол.
2. По свойству такой катет равен половине гипотенузы: 18 : 2 = 9 см.
3. Сверим результат: 9 см — половина от 18 см.

Ответ: искомый катет равен 9 см.

Задача 3. Катет прямоугольного треугольника равен 7 см, гипотенуза — 14 см. Найдём угол напротив этого катета и второй острый угол. Сначала сравним длины: 7 см — половина от 14 см, значит, подходит обратное утверждение о катете и угле 30°.

1. Проверим отношение: 14 : 2 = 7, следовательно, данный катет равен половине гипотенузы.
2. Напротив этого катета лежит угол 30°.
3. Второй острый угол равен 90° − 30° = 60°.

Ответ: угол напротив катета равен 30°, второй острый угол — 60°.

Типичные ошибки

Иногда гипотенузой называют любую самую длинную сторону, не проверяя её положение. В произвольном треугольнике это слово не применяют: гипотенуза бывает только у прямоугольного треугольника и лежит напротив прямого угла. Чтобы проверить себя, сначала найдите угол 90°, а затем посмотрите на противоположную сторону.

Можно ошибочно считать, что сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 90°. Так происходит, если правило о двух острых углах переносят на весь треугольник. Сумма всех трёх углов всегда равна 180°, а 90° дают только два острых угла; проверяйте, сколько именно углов складываете.

При угле 30° иногда выбирают катет, который прилежит к нему, то есть образует этот угол. Но половине гипотенузы равен катет напротив угла 30°. На чертеже найдите угол и выберите сторону, не имеющую с ним общей вершины; это помогает не перепутать катеты.

Ещё одна ошибка — применять свойство угла 30° к любому треугольнику. Оно связано с прямым углом, поэтому для произвольного треугольника не работает. Перед вычислением убедитесь, что один из углов равен 90°, и только после этого используйте соотношение катета и гипотенузы.

Связь с другими темами

Перед изучением прямоугольного треугольника нужно уметь распознавать прямой угол и знать, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Эти знания позволяют объяснить, почему сумма двух острых углов равна 90°. Без них нельзя обосновать способ нахождения неизвестного угла.

Свойство катета напротив угла 30° помогает решать задачи, где известны не все стороны или углы. Позже оно пригодится при изучении тригонометрических отношений — правил, связывающих углы и стороны прямоугольного треугольника. Умение верно определять катеты и гипотенузу будет нужно и в этих задачах.

Что запомнить

• В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Две стороны, образующие прямой угол, — катеты.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Гипотенуза длиннее каждого катета.
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол 30°.