§ 17. Прямоугольный треугольник

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один угол которого прямой, то есть равен 90°. Два других угла называются острыми: каждый из них меньше 90°. Это название помогает сразу узнать, какие правила можно применить к фигуре, например найти один острый угол по другому.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она не образует этот угол ни с одной из двух других сторон, а соединяет их свободные концы. По гипотенузе удобно ориентироваться в чертеже и выбирать нужное свойство для вычислений.

Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Катетов всегда два, и каждый из них прилегает к прямому углу. Различая катеты и гипотенузу, проще понять, какая сторона лежит напротив угла 30° и к какой стороне проведена медиана.

Как это устроено

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один из углов уже равен 90°, поэтому на два оставшихся вместе приходится 180° − 90° = 90°. Отсюда следует правило: если один острый угол равен α, то второй равен 90° − α. Например, при α = 38° второй угол составляет 52°.

Гипотенуза — наибольшая сторона прямоугольного треугольника. В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, а прямой угол больше каждого острого. Значит, напротив прямого угла находится самая длинная сторона — гипотенуза. Поэтому сторона, которую на рисунке нарисовали длиннее, не становится гипотенузой сама по себе: определять её надо по прямому углу.

Если один острый угол равен 30°, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы. Это можно объяснить построением: мысленно возьмём копию треугольника, отразив его относительно середины гипотенузы. Эта середина равноудалена от всех трёх вершин, поэтому радиусы к вершинам равны; центральный угол, опирающийся на катет напротив угла 30°, равен 60°. Получившийся треугольник с двумя равными сторонами и углом 60° равносторонний, так что катет равен половине гипотенузы.

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Причина связана с центром описанной окружности — окружности, проходящей через все вершины треугольника: у прямоугольного треугольника он находится в середине гипотенузы. Поэтому расстояния от этой точки до обоих концов гипотенузы и до вершины прямого угла равны, а медиана имеет ту же длину, что и половина гипотенузы.

Эти свойства позволяют находить неизвестные данные, если известны другие стороны или углы. Для углов используют сумму 90°, для случая с углом 30° связывают катет напротив него с гипотенузой, а для медианы сравнивают её длину с половиной гипотенузы. Перед вычислениями важно определить, где расположен прямой угол и какая сторона или отрезок фигурирует в условии. Тогда можно выбрать подходящее равенство и выразить из него неизвестную величину.

Основные свойства прямоугольного треугольника

Сначала найдите в условии нужный объект: острый угол, катет напротив 30° или медиану к гипотенузе. Затем выберите строку таблицы и запишите соответствующее равенство. В конце проверьте, что названия сторон и отрезков подходят к выбранному свойству.

Разбор задач

Задача 1. Найти второй острый угол

В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 38°. Найдите второй острый угол. Прямой угол уже занимает 90° из общей суммы углов, значит, на два острых вместе остаётся 90°. Чтобы найти неизвестный угол, из этой суммы вычтем известные 38°.

1. Запишем правило: сумма острых углов равна 90°.
2. Обозначим неизвестный угол через x и составим равенство: x + 38° = 90°.
3. Вычтем 38°: x = 90° − 38° = 52°.

Ответ: 52°. Проверка: 38° + 52° = 90°, а вместе с прямым углом получается 180°.

Задача 2. Найти гипотенузу по катету

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен 5 см. Найдите гипотенузу. Здесь известен не любой катет, а именно тот, который лежит напротив угла 30°. По свойству он составляет половину гипотенузы, поэтому гипотенуза в два раза длиннее.

1. Обозначим гипотенузу через c.
2. Запишем связь: 5 = c ÷ 2.
3. Умножим обе части на 2: c = 10 см.

Ответ: 10 см. Проверка: половина от 10 см равна 5 см, значит, условие свойства выполнено.

Задача 3. Найти гипотенузу по медиане

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна 7 см. Найдите гипотенузу и объясните, почему медиана делит её пополам. Медиана по определению соединяет вершину с серединой противоположной стороны, поэтому она делит гипотенузу на две равные части. Кроме того, в прямоугольном треугольнике эта медиана равна половине гипотенузы.

1. Обозначим гипотенузу через c, а медиану через m.
2. Используем свойство: m = c ÷ 2.
3. Подставим m = 7 см и найдём c: c = 2 · 7 = 14 см.

Ответ: гипотенуза равна 14 см. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы, поэтому расстояния от него до всех вершин равны. Следовательно, медиана от вершины прямого угла до середины гипотенузы равна половине гипотенузы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать гипотенузой любую сторону, которая выглядит длиннее на чертеже. Длину на рисунке могли изобразить неточно, а гипотенуза определяется положением: она всегда напротив прямого угла. Найдите отметку прямого угла и посмотрите на противоположную сторону. Проверка простая: гипотенуза не должна быть одной из сторон, образующих прямой угол.

Иногда свойство угла 30° применяют к катету, который лежит напротив другого острого угла. Это происходит, если стороны выбирают только по их расположению на рисунке, не проверяя угол. Свойство относится к катету напротив угла 30°, и именно он вдвое меньше гипотенузы. Проведите мысленно линию от выбранного катета к противоположному углу и убедитесь, что этот угол равен 30°.

Нельзя говорить, что сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 90°: 90° — это сумма только двух острых углов. Ошибка появляется, когда забывают прибавить сам прямой угол. Чтобы проверить ответ, сложите все три угла: должно получиться 180°. Если получилось 90°, вы нашли сумму острых углов, а не сумму углов треугольника.

Свойство половины гипотенузы относится к медиане, проведённой именно к гипотенузе, а не к любому отрезку-медиане. Можно перепутать стороны, если не определить, где находится прямой угол. Перед применением правила убедитесь, что медиана начинается в вершине прямого угла и заканчивается в середине противоположной стороны. Если она проведена к катету, это свойство использовать нельзя.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольного треугольника нужно знать сумму углов треугольника, различать виды углов и понимать обозначения сторон и углов. Например, правило суммы позволяет найти второй острый угол, а положение прямого угла помогает назвать гипотенузу и катеты. Эти знания превращают рисунок к задаче в набор понятных данных.

Свойства прямоугольного треугольника применяют при поиске неизвестных углов и сторон. Они также пригодятся при изучении признаков равенства треугольников: сравнение сторон и углов помогает определить, совпадают ли треугольники по форме и размерам. Умение различать гипотенузу и катеты нужно и в более сложных задачах, где прямоугольный треугольник является частью большой фигуры.

Что запомнить

• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Катеты образуют прямой угол.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Гипотенуза больше каждого катета.
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.