§ 18. Свойства прямоугольного треугольника

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого прямой. Например, если ∠C = 90°, то △ABC — прямоугольный, а углы A и B — острые. Такой рисунок удобно обозначать квадратиком у вершины прямого угла. Это помогает сразу понять, какие стороны являются катетами, а какая — гипотенузой.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Если ∠C = 90°, гипотенуза — AB, а стороны AC и BC — катеты. Гипотенуза всегда является наибольшей стороной: напротив большего угла лежит большая сторона, а прямой угол больше каждого острого. Это важно, чтобы не перепутать сторону, которую нужно разделить пополам.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол. В △ABC с прямым углом C это AC или BC; каждый катет одновременно является стороной, прилегающей к прямому углу. Но относительно острого угла один катет будет лежать напротив него, а другой — рядом с ним. При применении правила про 30° нужно выбрать именно противолежащий катет.

Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Чтобы провести медиану к гипотенузе AB, сначала отметь её середину M, так что AM = MB, а затем соедини M с вершиной C. Получившийся отрезок CM и есть медиана. Такое построение нужно, чтобы применить свойство медианы прямоугольного треугольника.

Как это устроено

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один из них уже занимает 90°, поэтому на два оставшихся приходится 180° − 90° = 90°. Эти два угла острые, и каждый дополняет другой до прямого угла. Например, если один равен 35°, второй равен 90° − 35° = 55°.

Пусть в △ABC угол C прямой, а угол A равен 30°. Проведём из C отрезок к середине M гипотенузы AB. Середина гипотенузы равноудалена от вершин A, B и C, поэтому AM = CM. Тогда △ACM равнобедренный, а его углы при A и C равны. Угол CAM равен 30°, значит, угол ACM тоже равен 30°; поскольку угол ACB равен 90°, угол MCB равен 60°. Из AM = MB и AM = CM следует, что отрезки CM и MB равны, поэтому △CMB равнобедренный, а его углы при C и B равны; сумма углов показывает, что угол CMB = 120°, а острые углы при C и B равны 30°. Следовательно, в △ACM стороны AC и CM равны, а в △CMB — стороны CB и CM равны; при этом AB = 2AM, а для доказательства свойства нужный результат формулируют как AC = ½AB.

Обратное правило также работает: если катет равен половине гипотенузы, угол напротив этого катета равен 30°. Чтобы это понять, можно отложить от вершины прямого угла отрезок, равный этому катету, вдоль гипотенузы, а затем рассмотреть получившийся равнобедренный треугольник. Равные стороны дают равные углы, а сумма углов вместе с прямым углом определяет острый угол как 30°. Значит, по длинам стороны можно узнать угол, даже если он не указан.

Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы благодаря окружности с диаметром AB. Если M — середина AB, то M — центр этой окружности, а радиус равен MA = MB = ½AB. По свойству угла, опирающегося на диаметр, ∠ACB прямой, поэтому вершина C тоже лежит на окружности. Значит, MC — радиус, и MC = MA = ½AB: именно MC является медианой к гипотенузе.

В задаче сначала отметь прямой угол: напротив него находится гипотенуза, остальные стороны — катеты. Затем выясни, какое условие дано: угол 30°, катет в половину гипотенузы или медиана к гипотенузе. Например, правило о половине гипотенузы относится только к катету напротив угла 30°, а не к любому катету. После этого подставь известную длину или угол и проверь, отвечает ли найденная величина вопросу задачи.

Основные свойства прямоугольного треугольника

Сначала найди в условии левую часть таблицы — это признак, который уже известен. Затем используй соответствующее следствие, проверив, что речь идёт о нужном катете или медиане. Если известен только один острый угол, отними его величину от 90°.

Разбор задач

Катет напротив угла 30°

Условие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 14 см, а один острый угол — 30°. Найти катет, лежащий напротив этого угла. Здесь сразу подходит свойство угла 30°, но сначала важно определить, какой именно катет спрашивают: в условии указан противолежащий.

1. Обозначим искомый катет через x и убедимся, что он лежит напротив угла 30°.
2. По свойству прямоугольного треугольника x равен половине гипотенузы: x = 14 : 2.
3. Выполним вычисление: x = 7 см.

Ответ: 7 см. Проверка проста: найденный катет вдвое меньше гипотенузы.

Найти угол по длинам сторон

Условие. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза — 12 см. Найти угол, лежащий напротив этого катета. Сначала сравним длины: половина гипотенузы равна 12 : 2 = 6 см. Значит, данный катет соответствует обратному свойству.

1. Проверим отношение: 6 см = ½ · 12 см.
2. По обратному свойству угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°.
3. Уточним, что найден именно угол напротив катета длиной 6 см, а не второй острый угол.

Ответ: 30°. Второй острый угол при необходимости составил бы 60°, так как острые углы вместе дают 90°.

Медиана и острые углы

Условие. Гипотенуза равна 20 см, один катет — 10 см. Найти медиану, проведённую к гипотенузе, и острые углы. В задаче соединены два свойства, поэтому удобно сначала отдельно найти медиану, а затем определить угол по известному катету. Обязательно проверим, что катет равен половине гипотенузы.

1. Медиана к гипотенузе равна её половине: 20 : 2 = 10 см.
2. Половина гипотенузы также равна 10 см, то есть заданный катет равен половине гипотенузы.
3. Угол напротив катета 10 см равен 30° по обратному свойству.
4. Второй острый угол равен 90° − 30° = 60°.

Ответ: медиана равна 10 см, острые углы — 30° и 60°. Какой из углов равен 30°, определяет положение данного катета: это угол напротив него.

Типичные ошибки

Гипотенузу иногда принимают за один из катетов, потому что все стороны на рисунке выглядят похоже. Но гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, а катеты образуют его. Проверь обозначение прямого угла и найди противоположную ему сторону. Она должна быть самой длинной.

При угле 30° могут делить пополам не ту сторону. Ошибка возникает, если смотреть только на длины и не проследить расположение угла. Половине гипотенузы равен только катет, лежащий напротив 30°. Перед вычислением мысленно или на чертеже проведи линию от угла к противоположной стороне.

Нельзя считать, что любой катет равен половине гипотенузы. Такое рассуждение верно только тогда, когда напротив этого катета расположен угол 30°. Сравни стороны с углами: если соответствующий угол неизвестен, сначала проверь, равен ли катет половине гипотенузы, и только затем делай вывод об угле. Второй катет обычно имеет другую длину.

Медиану к гипотенузе иногда приравнивают к половине любого катета. Путают стороны потому, что в правиле встречается слово «половина», но делить нужно именно гипотенузу. Обозначь середину гипотенузы и проведи к ней медиану: отрезок от вершины прямого угла равен половине всей гипотенузы. Длина катета в этом выводе не используется.

Связь с другими темами

Для изучения свойств прямоугольного треугольника понадобятся сумма углов треугольника, определения катета и гипотенузы, а также свойства равнобедренного треугольника. Последние помогают понять доказательство правила про угол 30°: в нём появляются треугольники с равными сторонами и углами. Знание этих тем позволяет не заучивать результат без объяснения.

Новые свойства пригодятся при поиске неизвестных сторон и углов, а также в доказательствах равенства треугольников. Позже они помогут изучать тригонометрические отношения, связывающие углы и стороны прямоугольного треугольника. Поэтому полезно не только помнить правила, но и уметь распознавать нужный треугольник в более сложной фигуре.

Что запомнить

• Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°.
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, противолежащий ему угол равен 30°.
• Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
• Перед применением свойства определи, где расположены нужные сторона и угол.