§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг

Определения и обозначения

Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих указанным свойством, и только их. Например, если требуется найти точки на расстоянии 4 см от A, нельзя включать точки на другом расстоянии. Это понятие помогает коротко описывать целую фигуру через общее свойство её точек.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной точки; эта точка называется центром окружности. Иными словами, у каждой точки окружности расстояние до центра одинаково. Такое описание позволяет строить окружность, когда известны её центр и нужное расстояние.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий её центр с любой точкой окружности; его длина равна расстоянию от центра до окружности. Радиус часто обозначают буквой r. По нему можно проверить, лежит ли точка на окружности или внутри круга.

Круг — часть плоскости, состоящая из точек окружности и точек внутри неё. Поэтому круг не ограничен одной только линией: в него входят и внутренние точки. Это определение нужно, чтобы не путать саму границу с областью, которую она ограничивает.

Как это устроено

При описании геометрического места точек проверяют два утверждения. Во-первых, любая точка уже найденного множества должна обладать заданным свойством. Во-вторых, любая точка с этим свойством должна входить в множество: иначе часть подходящих точек окажется потеряна. Такая проверка не позволяет принять за ответ фигуру, которая подходит лишь частично.

Возьмём заданную точку и отметим все точки на одном и том же расстоянии от неё. Если поворачивать отрезок этой длины вокруг заданной точки, его конец будет двигаться по замкнутой линии. Эта линия и есть окружность: заданная точка становится центром, а длина отрезка — радиусом. Поэтому ни одна точка на окружности не находится к центру ближе или дальше радиуса.

Положение точки относительно круга удобно определять сравнением расстояния до центра с радиусом. Если расстояние меньше радиуса, точка находится внутри; если оно равно радиусу, точка лежит на границе. Когда расстояние больше радиуса, точка расположена за пределами круга. Значит, условие принадлежности кругу можно записать так: расстояние до центра не превышает радиус.

Чтобы найти точки, удовлетворяющие двум условиям одновременно, сначала рассматривают каждое условие отдельно. Например, расстояние 3 см от A задаёт окружность с центром A, а расстояние 4 см от B — окружность с центром B. Подходят только точки, принадлежащие обеим окружностям: в них выполняются сразу оба условия. Поэтому искомое множество — пересечение двух геометрических мест, а не вся одна из окружностей.

Окружность ограничивает круг, но сама не содержит его внутренние точки. Причина в том, что на окружности расстояние до центра в точности равно радиусу, тогда как внутри круга оно меньше радиуса. Круг, напротив, включает и граничные, и внутренние точки. Различие важно каждый раз, когда в задаче сказано «на расстоянии» или «не дальше чем».

Окружность и круг

Сначала определите, о какой фигуре спрашивают: о линии-границе или обо всей области внутри неё. Затем сравните расстояние от точки до центра с радиусом. Если расстояние равно радиусу, точка принадлежит обеим фигурам; если оно меньше, она принадлежит кругу, но не окружности.

Разбор задач

Задача 1. Опишите геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии 4 см от точки A. Нужно назвать фигуру и указать, чем в ней являются заданные точка и расстояние. При этом проверим, что описание включает все подходящие точки и не захватывает неподходящие.

1. Все точки, удалённые от A на одно и то же расстояние 4 см, лежат на окружности.
2. Заданная точка A служит центром этой окружности.
3. Общее расстояние 4 см является её радиусом. Каждая точка этой окружности удалена от A ровно на 4 см, и любая точка на таком расстоянии попадает на окружность.

Ответ: окружность с центром A и радиусом 4 см.

Задача 2. Окружность с центром O имеет радиус 5 см. Принадлежит ли ей точка P, если OP = 5 см, а точка Q — если OQ = 3 см? Чтобы проверить принадлежность, сравним расстояние каждой точки до центра с радиусом, а не только посмотрим, находится ли точка рядом с окружностью.

1. Для точки P расстояние OP равно 5 см, то есть радиусу. Поэтому P лежит на окружности.
2. Для точки Q расстояние OQ составляет 3 см, что меньше радиуса 5 см. Значит, Q расположена внутри круга, но не на окружности.
3. Проверка различает границу и внутреннюю часть: равенство расстояния радиусу означает положение на окружности, а меньшее расстояние — положение внутри неё.

Ответ: точка P принадлежит окружности, а точка Q не принадлежит ей и находится внутри круга.

Задача 3. Точка M должна находиться на расстоянии 3 см от A и 4 см от B. Опишите, как найти все возможные положения M. Одного условия недостаточно: искомая точка обязана одновременно подходить и к расстоянию от A, и к расстоянию от B.

1. Постройте окружность с центром A и радиусом 3 см. На ней находятся все точки, удалённые от A на 3 см.
2. Постройте окружность с центром B и радиусом 4 см. Она содержит все точки, удалённые от B на 4 см.
3. Найдите общие точки построенных окружностей. Каждая общая точка удовлетворяет обоим условиям, а любая подходящая точка обязательно окажется общей.

Ответ: все возможные положения M — общие точки двух построенных окружностей. Если окружности не пересекаются, таких точек нет; если пересекаются, подходят их точки пересечения.

Типичные ошибки

Называть круг окружностью — значит смешивать линию и область. Так происходит потому, что в быту эти слова часто используют как взаимозаменяемые. Проверьте себя вопросом: входят ли точки внутри границы? Если да, речь идёт о круге, а не только об окружности.

Иногда описывают множество так: «все его точки имеют заданное свойство», но забывают убедиться, что включены все подходящие точки. Тогда полученное множество может состоять лишь из части ответа. Проверяйте оба направления: каждая выбранная точка подходит, и ни одна подходящая точка не пропущена.

Точка внутри окружности не принадлежит самой окружности, хотя кажется близкой к её линии. Ошибка возникает, когда положение «внутри» принимают за положение «на границе». Сравните расстояние до центра с радиусом: внутри оно меньше, а на окружности равно радиусу.

При двух условиях можно построить обе окружности, но затем ошибочно выбрать все точки одной из них. Это происходит, если проверяют только первое условие и забывают второе. Для самопроверки подставьте каждую найденную точку в оба условия: расстояние до A должно быть 3 см, а до B — 4 см.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью понадобятся умение измерять и сравнивать расстояния между точками, пользоваться циркулем и отмечать точки на чертеже. Эти навыки помогают точно строить окружность с заданным центром и радиусом. Они же нужны, чтобы проверить положение точки относительно неё.

Идея геометрического места точек пригодится при построениях и решении задач на пересечение множеств точек. Каждое условие можно представить отдельной фигурой, а общий ответ искать среди их общих точек. Так сложное условие становится набором понятных построений.

Окружность и круг станут основой для изучения хорды, диаметра, дуги и свойств окружности. В дальнейшем важно будет различать саму окружность и точки внутри неё. Это различие помогает точно формулировать определения и рассуждать в задачах.

Что запомнить

• Геометрическое место точек объединяет все точки с заданным свойством и только их.
• Окружность — множество точек, равноудалённых от центра.
• Радиус — расстояние от центра окружности до любой её точки.
• Круг включает окружность и её внутреннюю часть.
• Точка на окружности находится от центра на расстоянии, равном радиусу.
• Точка внутри круга находится от центра на расстоянии меньше радиуса.
• Общие точки двух геометрических мест удовлетворяют обоим условиям.