"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Хорда соединяет две точки окружности, а диаметр является особой хордой, проходящей через центр. Касательная касается окружности только в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Эти свойства помогают находить длины хорд, расстояния и углы. Главный приём — рассмотреть равные или прямоугольные треугольники, используя равенство радиусов одной окружности и теорему Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если концы хорды обозначить A и B, то отрезок AB лежит внутри круга. Диаметр — особая хорда, которая проходит через центр окружности; он длиннее любой другой хорды и равен двум радиусам.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Она не пересекает окружность насквозь, а только касается её с одной стороны. Это определение помогает отличить касательную от секущей, у которой две общие точки с окружностью.
Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Обычно её обозначают буквой T. Именно в этой точке к окружности проводят радиус, чтобы использовать главное свойство касательной.
Радиус, проведённый в точку касания, — отрезок от центра окружности до этой точки. Если O — центр, а T — точка касания, то такой радиус обозначают OT. Он перпендикулярен касательной и образует с ней прямой угол.
Пусть из центра O к хорде AB проведён перпендикуляр OM, причём M лежит на AB. Радиусы OA и OB равны, отрезок OM общий, а углы OMA и OMB прямые. Поэтому прямоугольные треугольники OMA и OMB равны по гипотенузе и катету, значит AM = MB: перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
Если прямая через центр O перпендикулярна хорде AB, пусть она пересекает хорду в точке M. Перпендикуляр к прямой AB может пересечь её только в одной точке, поэтому OM является тем самым перпендикуляром из центра. По доказанному свойству AM = MB, то есть прямая проходит через середину хорды.
Пусть T — точка касания, а OT — радиус. Если OT не был бы перпендикулярен касательной, расстояние от O до этой прямой оказалось бы меньше радиуса OT. Тогда прямая проходила бы внутри круга и пересекала окружность в двух точках. Это противоречит тому, что касательная имеет только одну общую точку, поэтому OT перпендикулярен касательной.
Верно и обратное утверждение. Пусть прямая проходит через точку T окружности и перпендикулярна радиусу OT. Для любой другой точки X этой прямой треугольник OTX прямоугольный, поэтому OX² = OT² + TX², а значит OX больше OT. Точка X лежит вне окружности, и единственной общей точкой прямой с окружностью остаётся T, следовательно, прямая является касательной.
В задачах сначала ищите равные радиусы и прямые углы. Перпендикуляр к хорде даёт равные половины хорды, а радиус и касательная дают прямоугольный треугольник. После этого неизвестный отрезок или угол находят по свойствам равных треугольников, теореме Пифагора или сумме углов треугольника.
| Объект и условие | Свойство | Как применить в задаче |
|---|---|---|
| Перпендикуляр из центра к хорде | Делит хорду пополам. | Разделить длину хорды на 2 или удвоить найденную половину. |
| Прямая через центр, перпендикулярная хорде | Проходит через середину хорды. | Обозначить точку пересечения серединой и получить равные отрезки. |
| Касательная и радиус в точку касания | Радиус перпендикулярен касательной. | Построить прямоугольный треугольник и применить теорему Пифагора. |
| Прямая, перпендикулярная радиусу в точке окружности | Является касательной. | Доказать, что на прямой нет других точек окружности. |
Сначала найдите в условии объект и выполненное условие из первого столбца. Затем используйте свойство из второго столбца и только после этого выполняйте вычисления. Третий столбец подсказывает, какой отрезок или треугольник удобно рассмотреть.
Из центра окружности проведён перпендикуляр к хорде длиной 14 см. Нужно найти расстояние от основания перпендикуляра до конца хорды. Обозначим основание перпендикуляра буквой M, а концы хорды — A и B.
Ответ: 7 см.
Радиус окружности равен 13 см, а расстояние от центра до хорды — 5 см. Требуется найти длину хорды. Обозначим половину хорды через x и проведём из центра перпендикуляр к хорде.
Ответ: 24 см.
Из точки касания T проведена касательная, на которой выбрана другая точка B. Радиус OT равен 10 см, а TB равно 24 см. Найдём расстояние OB от центра до точки B.
Ответ: 26 см.
Ошибка: считать, что любой перпендикуляр к хорде проходит через центр. Так думают, потому что именно перпендикуляр из центра часто встречается в задачах. Проверьте, начинается ли данный перпендикуляр в центре окружности.
Ошибка: делить хорду пополам без проверки перпендикулярности. Равенство половин следует не просто из прохождения прямой через центр, а из перпендикулярности к хорде. Убедитесь, что угол пересечения равен 90°.
Ошибка: путать касательную с секущей. Касательная имеет одну общую точку с окружностью, а секущая пересекает её в двух точках. Для проверки мысленно посчитайте точки пересечения прямой и окружности.
Ошибка: проводить радиус к произвольной точке касательной и считать его перпендикулярным. Прямой угол образует только радиус, проведённый в точку касания. Сначала найдите единственную общую точку прямой и окружности, а затем проведите радиус именно к ней.
Для понимания свойств окружности нужны определения центра, радиуса, диаметра и хорды, а также свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников. Равенство радиусов помогает доказывать равенство треугольников, а прямой угол — применять теорему Пифагора.
Эти свойства используются при построении касательных, нахождении длин хорд и расстояний от центра до прямых. Позже они пригодятся при доказательстве других теорем об окружности и решении задач на углы и отрезки.
Почему перпендикуляр из центра делит хорду пополам?
После проведения перпендикуляра к хорде образуются два прямоугольных треугольника. Их гипотенузы — равные радиусы, а один катет общий, поэтому треугольники равны и части хорды одинаковы.
Обязательно ли прямая через центр должна быть перпендикулярна хорде, чтобы делить её пополам?
Для указанного свойства — да: прямая через центр должна быть перпендикулярна хорде. Любая другая прямая через центр не обязана проходить через середину хорды.
Как отличить касательную от секущей?
Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку — точку касания. Секущая пересекает окружность в двух точках.
Почему радиус перпендикулярен касательной именно в точке касания?
Радиус соединяет центр с точкой касания. Если бы он не был перпендикулярен касательной, расстояние от центра до этой прямой было бы меньше радиуса, и прямая пересекла бы окружность ещё в одной точке.
Как найти длину хорды, если известны радиус и расстояние от центра до хорды?
Проведите перпендикуляр из центра к хорде: он разделит её пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике половину хорды найдите по теореме Пифагора, затем удвойте результат.
§ 20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
