"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Окружность — множество точек, одинаково удалённых от центра. В этом параграфе важны два свойства: перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, а радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Они помогают находить длины отрезков и распознавать касательную. В таких задачах часто достаточно отметить прямой угол, разделить хорду на равные части и применить теорему Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. На чертеже касательную обычно обозначают двумя точками, лежащими на этой прямой, например AB. Это определение помогает отличить касательную от секущей, которая пересекает окружность в двух точках.
Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Её обозначают заглавной буквой, например B, а касательную можно назвать прямой AB. Отметить эту точку нужно, чтобы провести к ней радиус и применить свойство прямого угла.
Отрезок касательной — часть касательной от внешней точки до точки касания. Если из точки A проведена касательная, касающаяся окружности в B, то отрезок касательной — AB, а не вся прямая AB. Различие важно в задачах на длину: измеряют отрезок между двумя указанными точками.
Опустим из центра O перпендикуляр OM на хорду AB. Радиусы OA и OB равны, OM — общая сторона двух треугольников, а углы OMA и OMB прямые. Поэтому прямоугольные треугольники OMA и OMB равны по гипотенузе и катету. Значит, AM = MB: перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
Если перпендикуляр из центра проходит через середину хорды, то эта точка делит хорду на равные части по определению середины. Обратное свойство согласуется с доказанным: если соединить центр с серединой хорды, получатся два равных треугольника по трём сторонам. Их углы у середины хорды равны, а поскольку они составляют развернутый угол, каждый равен 90°. Значит, отрезок от центра к середине хорды перпендикулярен хорде.
Пусть прямая касается окружности в точке B, а O — её центр. Радиус OB — кратчайшее расстояние от центра до прямой: перпендикуляр всегда короче наклонного отрезка, проведённого к той же прямой. Если бы точка касания не была основанием перпендикуляра, на касательной нашлась бы точка ближе к O, чем на расстоянии радиуса. Такая точка лежала бы внутри окружности, а касательная не должна проходить через её внутреннюю область. Поэтому OB перпендикулярен касательной.
Верно и обратное утверждение: если прямая перпендикулярна радиусу в точке B окружности, она является касательной. Действительно, любая другая точка прямой образует с центром O прямоугольный треугольник, где радиус OB — катет, а расстояние до этой точки — гипотенуза. Гипотенуза длиннее катета, поэтому все остальные точки прямой находятся от центра дальше радиуса и лежат вне окружности. Значит, общая точка у прямой и окружности только B.
При решении задач сначала отметь на чертеже прямой угол и равные отрезки, которые следуют из свойств окружности. Для хорды проведи перпендикуляр из центра и обозначь обе половины хорды одинаковыми буквами или штрихами. Для касательной соедини центр с точкой касания: затем в прямоугольном треугольнике можно применить теорему Пифагора.
| Объект или условие | Вывод |
|---|---|
| Перпендикуляр из центра к хорде | Делит хорду пополам |
| Перпендикуляр из центра делит хорду пополам | Точка пересечения является серединой хорды |
| Радиус проведён в точку касания | Радиус перпендикулярен касательной |
| Прямая перпендикулярна радиусу в точке окружности | Прямая является касательной |
Сначала найди в условии объект или условие из левого столбца, затем используй вывод справа. Первые два случая связаны с хордой, последние два — с касательной. Обратное утверждение удобно применять, когда нужно доказать, что прямая является касательной.
Задача 1. Из центра окружности радиуса 13 см опущен перпендикуляр длиной 5 см на хорду. Найдите длину хорды. Обозначим основание перпендикуляра M, а концы хорды A и B. Нужно сначала найти половину хорды, а не подставлять её полную длину в прямоугольный треугольник.
Ответ: 24 см. Задача 2. Хорда длиной 16 см находится на расстоянии 6 см от центра окружности. Найдите радиус окружности. Перпендикуляр из центра делит хорду на две части по 8 см, и эти отрезки вместе с расстоянием до хорды образуют прямоугольный треугольник.
Ответ: 10 см. Задача 3. Из точки A к окружности с центром O проведена прямая AB, касающаяся окружности в B. Известно, что OA = 17 см, а радиус равен 8 см. Найдите AB. Соединим центр с точкой касания: так появляется прямоугольный треугольник, в котором OA — гипотенуза.
Ответ: 15 см.
Считать, что любой отрезок из центра к хорде делит её пополам. Такую ошибку допускают, перенося свойство перпендикуляра на любой отрезок. Проверь, отмечен ли прямой угол между отрезком и хордой: без него вывод о равных частях делать нельзя.
Подставлять в теорему Пифагора всю длину хорды вместо её половины. Это происходит, если забыть, что перпендикуляр из центра делит хорду на две равные части. Проверь чертёж: катетом в треугольнике будет половина хорды, а после вычисления её нужно удвоить.
Не проводить радиус в точку касания и поэтому не замечать прямой угол. Тогда нужный прямоугольный треугольник остаётся незамеченным, и вычисление затрудняется. Отметь точку касания и соедини её с центром: этот радиус перпендикулярен касательной.
Путать утверждение о касательной с обратным утверждением. Перпендикулярность относится не к любому радиусу, а к радиусу, проведённому именно в точку касания. Чтобы проверить, что прямая — касательная, убедись, что она перпендикулярна радиусу в точке окружности, а не просто пересекает его под прямым углом где-то ещё.
Для этих свойств нужны определения окружности, центра, радиуса и хорды, а также умение распознавать перпендикулярные прямые. В доказательстве деления хорды пополам используются равенство прямоугольных треугольников и равенство радиусов. При вычислении длин применяется теорема Пифагора. Эти знания пригодятся в задачах о хордах и касательных, а также при изучении взаимного расположения прямой и окружности.
Как отличить касательную от секущей?
Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку — точку касания. Секущая пересекает окружность в двух точках.
Почему радиус перпендикулярен касательной именно в точке касания?
Кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Для касательной таким отрезком является радиус, проведённый к точке касания: если бы он не был перпендикулярен прямой, нашлась бы точка касательной, расположенная ближе к центру, чем радиус, а она не могла бы лежать вне окружности.
Как найти длину хорды, если известно расстояние от центра до неё?
Проведи из центра перпендикуляр к хорде: он разделит её на две равные части. Затем найди половину хорды по теореме Пифагора, используя радиус и расстояние до хорды, и удвой результат.
Всегда ли перпендикуляр из центра делит хорду пополам?
Да, если перпендикуляр проведён именно из центра окружности к хорде. Просто отрезок из центра к хорде, который не перпендикулярен ей, не обязан делить её пополам.
Как доказать, что данная прямая является касательной?
Найди точку пересечения прямой с окружностью и проведи к ней радиус. Если прямая перпендикулярна этому радиусу, то по обратному свойству она является касательной.
§20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
