"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Геометрическое место точек помогает описывать фигуры через общее свойство их точек. Например, все точки плоскости, удалённые от одной точки на заданное расстояние, образуют окружность. Центр и радиус позволяют задать и построить её, а сравнение расстояния с радиусом показывает, где находится точка. Различай окружность — только границу — и круг, в который входят также все точки внутри границы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих указанным свойством. Это значит, что каждая точка множества подходит под условие, а точек, которые ему не подходят, в множестве нет. Такое описание помогает задавать фигуры не только рисунком, но и правилом, по которому можно определить, принадлежит ли фигуре точка.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром окружности, её обычно обозначают O. Расстояние от центра до любой точки окружности одинаково и называется радиусом; его часто обозначают r. Такое определение позволяет узнавать окружность по общему свойству всех её точек.
Круг — часть плоскости, состоящая из точек окружности и точек внутри неё. Окружность содержит только границу, а круг включает и границу, и всю область внутри неё. Различие нужно, чтобы точно говорить, принадлежит ли точка линии или всей плоской фигуре.
Радиус соединяет центр окружности с одной из её точек, а диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше радиуса: d = 2r. Эти отрезки помогают измерять окружность и круг и решать задачи на их построение.
Представь точку O и выбери расстояние r. Теперь мысленно отметь все точки, удалённые от O ровно на r: у каждой такой точки расстояние до O одинаково. Если вращать отрезок длины r вокруг O, его свободный конец пройдёт все эти точки. Получившаяся линия и есть окружность с центром O и радиусом r; точка, находящаяся ближе или дальше, условию не соответствует.
Равное расстояние от центра — не случайное свойство отдельных точек, а общее условие принадлежности окружности. Поэтому достаточно проверить расстояние от выбранной точки до O: если оно равно r, точка лежит на окружности. Если расстояние меньше r, точка находится ближе к центру, чем любая точка границы, и лежит внутри круга. Если расстояние больше r, точка находится за границей круга.
Окружность и круг удобно представлять как границу и область, которую эта граница ограничивает. На границе расстояние до центра равно радиусу, а внутри оно меньше радиуса. Значит, точка внутри круга не принадлежит окружности: у неё другое расстояние до центра. Круг включает оба случая — и точки с расстоянием, равным радиусу, и точки с расстоянием меньше него.
Чтобы задать окружность однозначно, нужно указать её центр и радиус. Если известны O и r, циркуль раскрывают на длину r, ставят иглу в O и проводят линию; каждый участок этой линии будет отстоять от центра на одно и то же расстояние. Для построения круга берут ту же окружность, но рассматривают вместе с ней всю внутреннюю область. Одного радиуса без центра недостаточно: окружности такого размера можно расположить в разных местах плоскости.
Диаметр обязательно проходит через центр, потому что по определению соединяет две точки окружности через центр. Он разбивается центром на два отрезка, каждый из которых является радиусом; эти отрезки равны, так как соединяют центр с точками одной окружности. Поэтому длина диаметра складывается из двух радиусов: d = r + r = 2r. Обратно, радиус вдвое меньше диаметра.
| Объект | Какие точки входят | Условие через расстояние до центра | Обозначение |
|---|---|---|---|
| Круг | Точки границы и внутренние точки | Расстояние меньше или равно радиусу | Круг с центром O и радиусом r |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, о каком объекте идёт речь: о границе или о границе вместе с внутренней областью. Затем сравни расстояние от точки до центра с радиусом. Для круга подходят точки и с равным, и с меньшим расстоянием.
Задача 1. Построить окружность с центром O и радиусом 3 см. Нужно получить не произвольную замкнутую линию, а все точки, расстояние от которых до O равно 3 см. Циркуль позволяет провести такую линию, потому что при постоянном растворе расстояние от его иглы до карандаша не меняется.
Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см. Проверить результат можно так: расстояние от O до любой точки проведённой линии должно быть 3 см.
Задача 2. Точка A находится на расстоянии 4 см от центра O. Определи, лежит ли она на окружности радиуса 4 см, внутри или вне круга радиуса 3 см. Здесь заданы два радиуса, поэтому положение точки нужно проверять отдельно для каждого объекта. Сравнение расстояний сразу покажет, где находится A относительно каждой границы.
Ответ: точка A лежит на окружности радиуса 4 см и вне круга радиуса 3 см. Она не может быть внутри меньшего круга, поскольку до его центра дальше, чем радиус.
Задача 3. Точки A и B лежат на окружности с центром O, отрезок AB проходит через O. Найти диаметр, если радиус равен 2,5 см, и определить длину AB. По условию отрезок соединяет две точки окружности и проходит через центр, то есть является диаметром. Значит, длина AB равна удвоенному радиусу.
Ответ: диаметр равен 5 см, AB = 5 см. Проверка: центр O делит AB на два равных отрезка по 2,5 см, то есть на два радиуса.
Ошибочно называть окружностью область внутри линии или кругом саму линию. Так путают понятия, потому что в быту ими могут пользоваться нестрого. Проверь себя: если речь только о границе, это окружность; если о границе вместе с внутренними точками — круг.
Иногда считают, что любая точка внутри круга принадлежит окружности. Это происходит из-за того, что окружность воспринимают как название всей круглой фигуры. Измерь расстояние до центра: у внутренней точки оно меньше радиуса, а для принадлежности окружности должно быть равно ему.
Радиус и диаметр тоже могут перепутать: оба связаны с центром и окружностью. Но радиус соединяет центр с одной точкой границы, а диаметр — две точки границы и проходит через центр. Проверь концы отрезка: у радиуса один конец в центре, у диаметра оба конца на окружности.
Неверно считать, что диаметр равен радиусу. Ошибка возникает, если не заметить, что диаметр по обе стороны от центра содержит два радиуса. Раздели его центром на две части или воспользуйся формулой d = 2r: при радиусе 2,5 см диаметр равен 5 см.
Для этой темы нужны представления о точке и плоскости, а также умение находить расстояние между точками и работать с отрезком. Без этого не получится проверить, равно ли расстояние от точки до центра радиусу. Понимание геометрического места точек пригодится при построениях циркулем и линейкой: условие задачи можно превращать в линию, на которой находятся все подходящие точки. Окружность и круг встречаются при изучении треугольников и других геометрических фигур, а радиус и диаметр помогают задавать их размеры.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это только линия, состоящая из точек на одинаковом расстоянии от центра. Круг включает эту линию и всю область внутри неё.
Почему окружность является геометрическим местом точек?
Каждая точка окружности находится на одном и том же расстоянии от её центра. И наоборот, любая точка плоскости на таком расстоянии от центра лежит на окружности.
Как определить, лежит ли точка внутри круга?
Найди расстояние от точки до центра и сравни его с радиусом. Если расстояние меньше радиуса, точка внутри круга; если равно — на окружности, а если больше — вне круга.
Чем радиус отличается от диаметра?
Радиус соединяет центр окружности с одной её точкой. Диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр, поэтому состоит из двух радиусов и равен двум радиусам.
Как построить окружность заданного радиуса?
Отметь центр, раздвинь циркуль на длину заданного радиуса и поставь иглу в центр. Поверни циркуль, чтобы провести линию, все точки которой находятся от центра на выбранном расстоянии.
§19. Геометрическое место точек. Окружность и круг
