§18. Свойства прямоугольного треугольника. Расстояние между двумя фигурами

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами, а третья сторона — гипотенузой. Если обозначить прямой угол как C, то стороны AC и BC будут катетами, а AB — гипотенузой. Эти названия помогают понять, какие свойства можно применить и какую сторону требуется найти.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; две другие стороны — катеты. Она является самой длинной стороной треугольника. Чтобы не перепутать стороны, сначала найдите угол 90°: сторона напротив него и есть гипотенуза. Это особенно важно при использовании свойства катета, связанного с углом 30°.

Расстояние между двумя фигурами — наименьшее из расстояний между точками, принадлежащими этим фигурам. Например, чтобы определить расстояние между двумя отрезками, рассматривают отрезки, соединяющие точку одного с точкой другого, и ищут самый короткий. Если фигуры пересекаются или имеют общую точку, расстояние между ними равно нулю. Определение позволяет отличить расстояние от произвольного отрезка между фигурами.

Расстояние между параллельными прямыми — расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой; оно не зависит от выбора точки. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, то есть отрезка, образующего с прямой угол 90°. Поэтому для параллельных прямых выбирают перпендикулярный отрезок между ними. Это даёт одинаковую меру, где бы на первой прямой ни находилась точка.

Как это устроено

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол уже составляет 90°, поэтому на два оставшихся угла вместе приходится 180° − 90° = 90°. Эти углы называются острыми, потому что каждый меньше 90°. Зная один из них, можно найти другой: например, если один угол равен 30°, второй равен 90° − 30° = 60°.

Когда острый угол равен 30°, сторона напротив него занимает особое положение: её длина составляет половину гипотенузы. Чтобы понять причину этого свойства, достроим треугольник до равного ему прямоугольного треугольника, расположив копию по другую сторону одного из катетов. Вместе треугольники образуют равнобедренный треугольник: две его стороны являются гипотенузами равных треугольников и потому равны. Угол при вершине, напротив основания, получается равным 60° + 60° = 120°, а оставшиеся углы равны по 30°; равенство боковых сторон позволяет связать длину основания с катетом.

В равнобедренном треугольнике с вершиной 120° высота, проведённая к основанию, делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. В построении основание составлено из двух равных катетов исходных треугольников, а равные стороны большого треугольника соответствуют гипотенузам. Из равенства частей следует, что гипотенуза вдвое длиннее катета, лежащего напротив 30°. Поэтому такой катет равен половине гипотенузы; важно не переносить это правило на катет напротив угла 60°.

Расстояние между фигурами находят не измерением любого удобного отрезка, а поиском самого короткого отрезка с концами на этих фигурах. Наклонный отрезок обычно длиннее перпендикуляра, потому что перпендикуляр от точки до прямой является кратчайшим путём. Для параллельных прямых все перпендикуляры между ними равны, так что можно взять перпендикуляр из любой точки одной прямой. Поэтому расстояние между такими прямыми постоянно по всей их длине.

Если фигуры не пересекаются, их ближайшие точки зависят от взаимного расположения фигур. Для отрезков ближайшая пара точек может находиться на концах, а для прямой и отрезка — на одном из концов отрезка или в его середине. Значит, нельзя заранее считать, что подойдёт любой отрезок между фигурами. Нужно проверить, где точки находятся ближе всего, и сравнить подходящие расстояния.

Свойство прямоугольного треугольника и способы найти расстояние

Сначала найдите в таблице ситуацию, которая совпадает с условием задачи, затем проверьте, какие данные известны. Для треугольника важно определить сторону напротив угла 30°, а для расстояния — выбрать кратчайший отрезок. Таблица напоминает, какое утверждение можно применять, но вычисления нужно выполнять с учётом конкретных данных.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 14 см, а один острый угол равен 30°. Найдите катет, лежащий напротив этого угла. Сначала нужно убедиться, что известна именно гипотенуза, и определить, какой катет требуется. Условие указывает на катет напротив угла 30°, поэтому можно применить специальное свойство.

1. Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
2. Подставим длину гипотенузы: 14 : 2 = 7 см.
3. Проверим, что нашли именно катет напротив угла 30°, а не другой катет.

Ответ: 7 см. Здесь не требуется находить второй острый угол или второй катет, потому что вопрос касается только стороны напротив 30°. Деление на два верно именно благодаря углу 30°.

Задача 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 30°, равен 5 см. Найдите гипотенузу и второй острый угол. Известная сторона является половиной гипотенузы, поэтому гипотенуза вдвое больше этого катета. Второй угол найдём отдельно, используя сумму острых углов.

1. Пусть катет напротив 30° равен 5 см. Тогда гипотенуза равна 2 · 5 = 10 см.
2. Сумма острых углов равна 90°, поэтому второй угол равен 90° − 30° = 60°.
3. Проверим результат: найденные углы 30° и 60° вместе дают 90°.

Ответ: гипотенуза равна 10 см, второй острый угол — 60°. Сторона в условии названа катетом напротив угла 30°, поэтому правило применимо. Если бы был указан другой катет, удваивать его для нахождения гипотенузы было бы нельзя.

Задача 3. Две параллельные прямые находятся на расстоянии 6 см. Точка лежит на одной из них. Найдите расстояние от точки до другой прямой и объясните, почему оно не зависит от положения точки. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, а расстояние между параллельными прямыми уже дано. Значит, точка на первой прямой отстоит от второй на такую же величину.

1. Из точки проведём перпендикуляр к другой прямой.
2. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми: 6 см.
3. Если выбрать другую точку на первой прямой, перпендикулярное расстояние между прямыми останется тем же.

Ответ: 6 см. Наклонный отрезок от точки до другой прямой не показывает расстояние, поскольку он длиннее перпендикуляра. Постоянство результата объясняется тем, что все перпендикулярные отрезки между двумя параллельными прямыми равны.

Типичные ошибки

Первая ошибка — перепутать катет напротив угла 30° с катетом, который образует этот угол. Такое случается, если смотреть на сторону, примыкающую к углу, а не на сторону напротив него. Свойство половины гипотенузы относится только к катету напротив 30°. Проверьте себя: нужная сторона не имеет общей вершины с углом 30°.

Вторая ошибка — делить гипотенузу пополам при любом остром угле. Правило связано именно с углом 30°, поэтому при другом угле оно не подходит. Путаницу вызывает запоминание формулы без условия её применения. Перед вычислением проверьте, что в задаче действительно дан угол 30° и нужна сторона напротив него.

Третья ошибка — назвать расстоянием между фигурами длину любого соединяющего их отрезка. Такой отрезок может быть наклонным и длиннее возможного перпендикуляра или другого отрезка между ближайшими точками. Ошибка появляется, если не учитывать положение фигур. Сравните подходящие отрезки и убедитесь, что выбран самый короткий; при пересечении фигур расстояние равно нулю.

Четвёртая ошибка — измерять расстояние между параллельными прямыми наклонным отрезком. Его длина зависит от наклона и больше перпендикулярного расстояния, поэтому ответ окажется завышенным. Наклонный отрезок принимают за расстояние, если не проверяют угол с прямыми. Постройте перпендикуляр: он должен образовывать с каждой параллельной прямой угол 90°.

Связь с другими темами

Для работы с прямоугольным треугольником понадобятся сумма углов треугольника, умение распознавать прямой угол и свойства равнобедренного треугольника: именно они помогают обосновать правило для угла 30°. Понятие расстояния опирается на длину отрезка и перпендикуляр. Оно пригодится при изучении параллельных прямых и в задачах, где нужно находить расстояние между объектами. Свойства прямоугольного треугольника помогают вычислять неизвестные стороны и углы при решении задач на построение и доказательство.

Что запомнить

• В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°.
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Расстояние между фигурами — наименьшее расстояние между их точками.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.
• Все перпендикулярные отрезки между двумя параллельными прямыми имеют одинаковую длину.