§21. Описанная и вписанная окружности треугольника

Определения и обозначения

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три его вершины. Значит, каждая вершина находится на одинаковом расстоянии от центра окружности, и это расстояние служит её радиусом. Такое определение позволяет проверять, лежат ли вершины на одной окружности, и строить эту окружность.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; его обычно обозначают O. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны под прямым углом к ней. Зная, где пересекаются такие прямые, можно найти центр, не подбирая его на чертеже на глаз.

Вписанная окружность треугольника — окружность, касающаяся всех трёх его сторон. Она находится внутри треугольника, а точки касания принадлежат сторонам. Это определение помогает отличить вписанную окружность от описанной и понять, где искать её радиус.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника; его обычно обозначают I. Биссектриса делит угол на две равные части, а точка на ней равноудалена от сторон этого угла. Поэтому центр можно найти по биссектрисам, а радиус — по расстоянию от него до стороны.

Как это устроено

Рассмотрим отрезок с концами A и B и точку O, которая одинаково удалена от этих концов: OA = OB. В треугольнике AOB равные стороны лежат напротив равных углов, поэтому перпендикуляр из O к AB делит основание пополам. Значит, O лежит на прямой, которая проходит через середину AB под прямым углом, то есть на серединном перпендикуляре. И наоборот: любая точка этой прямой равноудалена от A и B.

Проведём серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника ABC и обозначим их пересечение O. Так как O лежит на перпендикуляре к AB, то OA = OB; поскольку она лежит и на перпендикуляре к AC, то OA = OC. Следовательно, OA = OB = OC, и O равноудалена от всех трёх вершин. Из равенства OB и OC следует, что O лежит также на серединном перпендикуляре к BC, поэтому все три прямые проходят через одну точку.

Из точки O проведём окружность радиусом OA. Равенства OA = OB = OC показывают, что точки A, B и C находятся на этой окружности. Поэтому O — центр описанной окружности, а расстояние до любой вершины — её радиус. Доказательство одновременно объясняет, почему для построения центра достаточно найти пересечение двух серединных перпендикуляров.

Пусть окружность касается двух сторон угла, а P — её центр. Перпендикуляры из P к сторонам угла равны: каждый является радиусом, проведённым к точке касания. Если соединить P с вершиной угла, получатся два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и равными катетами, поэтому они равны. Значит, луч из вершины через P делит угол пополам, а P лежит на его биссектрисе.

Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон: расстояния измеряют перпендикулярами к сторонам. При пересечении биссектрис двух углов треугольника их общая точка оказывается равноудалённой от всех трёх сторон. Поэтому она лежит и на биссектрисе третьего угла и является центром окружности, касающейся сторон. Радиус такой окружности равен перпендикулярному расстоянию от центра до любой стороны.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Сначала определи, что именно нужно построить: окружность через вершины или окружность, касающуюся сторон. Затем выбери соответствующую строку о центре и способ его построения. Обрати внимание: центр описанной окружности не всегда находится внутри треугольника, а центр вписанной — всегда.

Разбор задач

Задача 1. Построй центр описанной окружности данного треугольника и проведи эту окружность. Здесь нужно найти точку, равноудалённую от вершин. Серединные перпендикуляры удобны тем, что каждая их точка равноудалена от концов соответствующей стороны.

1. Выбери две стороны и найди середину каждой. Проведи через середины прямые, перпендикулярные этим сторонам.
2. Обозначь точку пересечения прямых O. По свойству серединного перпендикуляра OA = OB и OA = OC.
3. Поставь иглу циркуля в O, а раствор установи равным OA. Проведи окружность: она пройдёт через A, B и C.

Ответ: O — точка пересечения серединных перпендикуляров, окружность с центром O и радиусом OA — искомая. Проведение перпендикуляра к третьей стороне служит дополнительной проверкой построения. В тупоугольном треугольнике точка O окажется вне треугольника, но окружность всё равно пройдёт через все вершины.

Задача 2. Построй центр вписанной окружности треугольника и проведи окружность. Чтобы окружность касалась сторон, её центр должен быть равноудалён от каждой из них. Это наводит на мысль использовать биссектрисы углов.

1. Построй биссектрисы двух углов треугольника и обозначь их пересечение I. Эта точка лежит на биссектрисе третьего угла.
2. Из I опусти перпендикуляр на любую сторону, например AB. Обозначь точку пересечения H; отрезок IH — расстояние от центра до стороны.
3. Поставь иглу циркуля в I, раствори циркуль до H и проведи окружность. Равные расстояния до остальных сторон обеспечат касание и с ними.

Ответ: центр — I, радиус — IH, а окружность с таким центром и радиусом является вписанной. Перпендикуляр здесь нужен не для произвольного удобства: именно кратчайший отрезок от точки до прямой задаёт расстояние до стороны. Поэтому длина от центра до вершины радиусом вписанной окружности не является.

Задача 3. Докажи, что серединные перпендикуляры к трём сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от его вершин. Достаточно начать с двух сторон: их перпендикуляры пересекаются в точке O. Свойство точек серединного перпендикуляра сразу даёт нужные равенства расстояний.

1. Пусть O — точка пересечения перпендикуляров к AB и AC. Из первого перпендикуляра следует OA = OB.
2. Из второго перпендикуляра следует OA = OC. Значит, OA = OB = OC.
3. Так как OB = OC, точка O лежит на серединном перпендикуляре к BC. Следовательно, третий перпендикуляр тоже проходит через O.

Ответ: все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке O, равноудалённой от A, B и C. Окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины. Значит, доказаны и существование центра описанной окружности, и способ его построения.

Типичные ошибки

Путать центр описанной окружности с точкой пересечения биссектрис — значит смешивать расстояния до вершин и до сторон. Ошибку допускают, потому что оба центра получают пересечением линий треугольника. Проверь себя: для O должны быть равны расстояния до вершин, а для I — перпендикулярные расстояния до сторон.

Неверно говорить, что описанная окружность касается сторон: по определению она проходит через вершины. Возможно, путаются два смысла слов «описанная» и «вписанная». Проверь чертёж: вершины должны лежать на описанной окружности, но середины сторон или другие точки сторон не обязаны находиться на ней.

Вписанная окружность не проходит через вершины, а касается сторон. Ошибку легко допустить, если считать её просто маленькой окружностью внутри треугольника. Проверь построение: окружность должна иметь общую точку с каждой стороной, причём радиус к точке касания перпендикулярен стороне.

При построении вписанной окружности нельзя брать радиусом расстояние от центра до вершины. Такое расстояние наклонное и обычно больше кратчайшего расстояния до стороны, поэтому окружность не будет касаться её. Чтобы проверить себя, опусти из центра перпендикуляр на сторону: именно длина этого перпендикуляра равна радиусу.

Связь с другими темами

Для построения центров понадобятся свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы, а также понятие расстояния от точки до прямой. Если эти свойства забылись, восстанови их смысл: первая линия связывает точки, равноудалённые от концов отрезка, вторая — точки, равноудалённые от сторон угла. Позже окружности помогут решать задачи на геометрические построения и свойства треугольников. Их радиусы и центры также используют при вычислении элементов вписанных и описанных окружностей.

Что запомнить

• Описанная окружность проходит через все вершины треугольника.
• Центр описанной окружности равноудалён от вершин.
• Центр описанной окружности лежит на серединных перпендикулярах к сторонам.
• Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
• Центр вписанной окружности равноудалён от сторон.
• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов.