§23. Метод геометрических мест точек в задачах на построение

Определения и обозначения

Геометрическое место точек — фигура, состоящая из всех точек, обладающих заданным свойством, и только из них. Например, все точки на расстоянии r от точки O образуют окружность с центром O и радиусом r. Это понятие помогает заменить условие задачи фигурой, которую можно построить.

Метод геометрических мест точек — способ построить искомую точку как точку пересечения фигур, задающих необходимые условия. Если требуется, чтобы точка удовлетворяла двум условиям, сначала строят фигуру для каждого из них, а потом находят общие точки. Так становится видно, где искать решение и как обосновать построение.

Серединный перпендикуляр отрезка — прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему; она является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка. Если точка лежит на этой прямой, расстояния до обоих концов равны. Поэтому серединный перпендикуляр используют, когда в задаче требуется равноудалённость от двух точек.

Биссектриса угла — луч, делящий угол пополам; точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, лежат на биссектрисе. Расстояние до стороны измеряют по перпендикуляру, а не вдоль наклонного отрезка. Это геометрическое место подходит для условий о равноудалённости от сторон угла.

Как это устроено

В задаче на построение искомая точка должна удовлетворять нескольким условиям. Каждое из них по отдельности допускает целое множество возможных точек: например, условие «на расстоянии r от O» допускает все точки окружности радиуса r. Поэтому сначала полезно рассматривать условия по одному, не пытаясь сразу угадать готовую фигуру.

Для каждого условия определяют соответствующее геометрическое место. Так поступают потому, что оно собирает все возможные точки, подходящие именно под это условие, и позволяет не пропустить варианты. Затем нужные фигуры строят циркулем и линейкой: например, окружность заданного радиуса, серединный перпендикуляр или биссектрису угла.

Искомыми точками становятся точки пересечения построенных геометрических мест. Причина в том, что общая точка принадлежит каждой из фигур, а значит, одновременно удовлетворяет каждому из заданных условий. Точка, лежащая только на одной фигуре, может подходить к одной части задачи, но не к задаче целиком.

После построения проверяют каждую найденную точку по исходному условию. Это нужно, потому что пересечение иногда даёт несколько кандидатов, а дополнительное требование может исключить часть из них. Возможны разные случаи: одно пересечение, несколько пересечений или отсутствие общих точек, то есть отсутствие решений.

Чтобы обосновать решение, объясняют две стороны построения. Сначала показывают, что любая искомая точка должна принадлежать каждому выбранному геометрическому месту; затем доказывают, что каждая подходящая точка пересечения действительно удовлетворяет условиям. Такой довод также помогает убедиться, что другие решения не пропущены.

Геометрические места точек, используемые при построениях

Сначала найди в условии задачи требование к точке и выбери соответствующее ему геометрическое место. Если условий несколько, построй фигуру для каждого условия, а затем ищи их общие точки. В конце проверь, подходят ли найденные точки всем требованиям задачи.

Разбор задач

Точка на прямой, равноудалённая от A и B

Условие. На данной прямой построить точку, равноудалённую от двух заданных точек A и B. Точка должна одновременно лежать на данной прямой и иметь одинаковые расстояния до A и B. Эти два требования подсказывают, какие геометрические места понадобятся.

1. Равноудалённые от A и B точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Построй этот перпендикуляр циркулем и линейкой.
2. Найди точку пересечения серединного перпендикуляра с данной прямой. Она принадлежит обеим фигурам, поэтому удовлетворяет обоим требованиям.
3. Если прямые не пересекаются, общей точки нет. Если они совпадают, любая их общая точка равноудалена от A и B и лежит на заданной прямой.

Ответ. Искомая точка — пересечение данной прямой с серединным перпендикуляром к AB, если пересечение существует. Проверка состоит в том, что найденная точка лежит на заданной прямой, а расстояния до A и B равны. Так учитывается и возможный случай, когда решения нет.

Точка на расстоянии r от O, равноудалённая от сторон угла

Условие. Построить точку на расстоянии r от точки O, равноудалённую от сторон заданного угла. Первое требование задаёт окружность, а второе связывает точку с биссектрисами угла. Пересечения этих фигур и дают кандидатов в решения.

1. Построй окружность с центром O и радиусом r. Каждая её точка находится от O на нужном расстоянии.
2. Построй биссектрисы угла. Точки на них равноудалены от прямых, содержащих стороны угла; если по условию точка должна быть внутри угла, рассматривай его внутреннюю биссектрису.
3. Отметь пересечения окружности с подходящими биссектрисами. Проверь каждую точку: она должна лежать на окружности и удовлетворять требованию о расстояниях до сторон.

Ответ. Возможные решения — подходящие точки пересечения окружности с биссектрисами. Их число зависит от расположения окружности и биссектрис. Если пересечений нет, построить такую точку нельзя.

Построение треугольника по стороне, углу и высоте

Условие. Построить треугольник ABC, если известны сторона BC, угол ABC и высота, опущенная из A на прямую BC. Сторона и угол задают, где должны находиться B, C и луч BA. Высота задаёт расстояние от A до прямой BC, но не расстояние от A до точки B или C.

1. Построй отрезок BC заданной длины и угол ABC. Луч BA должен выходить из B и образовывать с BC заданный угол.
2. Построй прямую, параллельную BC и отстоящую от неё на величину высоты. Такие прямые возможны с обеих сторон BC, потому что задано расстояние до прямой.
3. Найди пересечения луча BA с построенными параллельными. Каждая точка пересечения может быть вершиной A, так как лежит на нужном луче и имеет заданное расстояние до BC.
4. Проверь полученные треугольники: длина BC и угол при B должны совпадать с заданными, а перпендикулярное расстояние от A до прямой BC — равняться высоте. Оставь только точки, подходящие условию.

Ответ. Вершина A находится на пересечении луча BA с прямой, параллельной BC на заданном расстоянии. Подходящих пересечений может быть одно, несколько или ни одного. Соедини A с B и C, чтобы получить искомый треугольник.

Типичные ошибки

Считать геометрическим местом только часть фигуры — значит потерять точки, которые тоже обладают заданным свойством. Так бывает, если по примеру принимают за всё место лишь удобный участок окружности или прямой. Проверь себя вопросом: подходит ли условию любая точка фигуры и учтены ли все точки, которые ему подходят?

Принадлежность одной построенной фигуре не означает, что выполнены все условия задачи. Например, точка на окружности находится на нужном расстоянии от её центра, но может не быть равноудалённой от сторон угла. Такая ошибка возникает, когда строят лишь первое замеченное геометрическое место. Для проверки перечисли все условия и убедись, что точка лежит на фигуре для каждого из них.

Если рассмотреть только одно из нескольких пересечений, можно пропустить решение. Обычно это происходит, когда ученик находит первую подходящую точку и останавливается. Проверь построение, проследив все пересечения фигур, и проверь каждую точку по условию: некоторые кандидаты могут не подходить, но заранее исключать их нельзя.

Иногда построенные фигуры не пересекаются, и тогда решений нет. Можно ошибочно решить, что задача обязательно имеет решение, потому что в условии оно требуется. Проверь расположение всех геометрических мест и расстояния между ними; если общей точки нет, ни одна точка не удовлетворяет всем условиям одновременно.

Связь с другими темами

Для применения метода нужно уметь строить перпендикуляр к прямой, серединный перпендикуляр, биссектрису угла и окружность заданного радиуса. Эти построения превращают отдельные условия в геометрические места, которые затем можно пересекать. Полезно также понимать, что расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. Метод пригодится в более сложных задачах на построение, где положение искомой точки задают сразу несколько условий.

Что запомнить

• Геометрическое место содержит все точки с заданным свойством и только их.
• Каждому условию задачи можно сопоставить геометрическое место.
• Искомая точка должна принадлежать геометрическим местам, соответствующим всем условиям.
• Точки пересечения построенных фигур дают возможные решения.
• После построения нужно проверить каждое решение по исходному условию.
• Число решений зависит от взаимного расположения геометрических мест.