§ 23. Метод геометрических мест точек в задачах на построение

Определения и обозначения

Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих заданным свойством. Например, все точки, находящиеся на одном и том же расстоянии от точки O, образуют окружность с центром O. Понятие помогает заменить длинное описание точек знакомой линией или фигурой.

Метод геометрических мест точек — способ решения задач на построение через нахождение и пересечение геометрических мест. Для каждого условия задачи выбирают подходящее множество, а затем строят его. Так сложная задача сводится к нескольким известным построениям.

Необходимое условие — условие, которому должна удовлетворять искомая точка. Если точка является решением задачи, она обязательно обладает этим свойством. Поэтому необходимое условие помогает понять, где искать решение.

Достаточное условие — условие, при котором построенная точка действительно является искомой. Оно подтверждает, что точка не просто подходит под отдельное требование, а выполняет все условия задачи. Вместе необходимость и достаточность позволяют доказать правильность построения.

Как это устроено

Сначала прочитай условие и определи, что именно нужно построить: обычно это точка, обладающая сразу несколькими свойствами. Каждое требование можно сформулировать отдельно: например, «равноудалена от A и B» и «находится на расстоянии r от C». Такое разделение не даёт потерять ни одно условие.

Одному условию соответствует своё геометрическое место точек, потому что оно объединяет все возможные точки, для которых это условие верно. Если точка должна быть на расстоянии r от центра O, подойдёт окружность с центром O и радиусом r. Искомая точка не может находиться вне этого множества, иначе соответствующее требование нарушится.

Когда построены два геометрических места, искомой может быть только их общая точка. Точка на первом множестве выполняет первое условие, а принадлежность второму обеспечивает выполнение второго. Поэтому пересечение позволяет выделить точки, подходящие сразу по двум требованиям.

После построения нужно проверить и необходимость, и достаточность. Необходимость означает, что любое возможное решение обязано лежать на каждом из построенных геометрических мест, поэтому среди пересечений не потеряно ни одного решения. Достаточность означает, что каждая найденная точка действительно удовлетворяет исходным условиям, а не только формально лежит на линиях.

Число решений определяется числом подходящих точек пересечения. Два геометрических места могут не пересекаться, касаться в одной точке или иметь несколько общих точек. При этом проверяют не только количество пересечений, но и то, подходят ли они по всем условиям задачи.

Основные геометрические места точек и их использование

Таблица помогает перевести слова условия в знакомое построение: сначала найди в левом столбце нужное свойство, затем сверь соответствующее ему геометрическое место. Правый столбец подсказывает, какими действиями его получить. Если точка должна выполнять два условия, построй оба соответствующих места и найди их общие точки.

Разбор задач

Точка равноудалена от двух точек и находится на заданном расстоянии от третьей

Даны точки A, B и C, а также расстояние r. Требуется построить точку X так, чтобы XA = XB и XC = r. Первое условие связано с двумя точками, а второе — с расстоянием от одной точки. Значит, нужно построить два геометрических места и посмотреть, где они пересекаются.

1. Построй отрезок AB и его серединный перпендикуляр. Любая точка на нём равноудалена от A и B, поэтому он задаёт все возможные положения X по первому условию.
2. С центром в C построй окружность радиуса r. Все точки этой окружности находятся от C на заданном расстоянии, значит, искомая X должна лежать на ней.
3. Отметь все точки пересечения окружности и серединного перпендикуляра. Каждая такая точка одновременно принадлежит обоим множествам и потому подходит под оба условия.

Ответ: искомыми являются точки пересечения построенных линий. Их может быть две, одна или ни одной — это зависит от взаимного расположения окружности и серединного перпендикуляра. Проверь для каждой найденной точки равенство расстояний до A и B и расстояние r до C.

Треугольник по основанию, высоте и углу при основании

Даны основание AB, высота h и угол при основании, например угол A. Нужно построить треугольник ABC. Вершина C должна лежать на луче, который образует с AB заданный угол, и на расстоянии h от прямой AB. Эти два требования задают два геометрических места.

1. Построй отрезок AB, затем от точки A проведи луч, образующий с AB заданный угол. Луч задаёт направление стороны AC, поэтому вершина C должна находиться на нём.
2. Проведи прямую, параллельную AB и удалённую от неё на расстояние h, со стороны, куда направлен луч. Точки этой прямой находятся на нужном расстоянии от основания.
3. Найди пересечение луча и параллельной прямой. Обозначь его C и соедини C с B, получив треугольник ABC.

Ответ: треугольник ABC построен, если луч и выбранная параллельная прямая пересекаются. Точка C лежит на луче, поэтому угол при A задан, а расстояние от C до AB равно высоте h. Если пересечения нет или оно не лежит на нужном луче, построение не даёт решения при выбранном расположении.

Точка равноудалена от двух пересекающихся прямых и находится на заданном расстоянии от точки

Пусть прямые пересекаются, дана точка P и расстояние r. Нужно построить точку X, равноудалённую от обеих прямых и находящуюся на расстоянии r от P. Точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на его биссектрисе; для двух пересекающихся прямых учитывают биссектрисы образовавшихся углов. Второе условие задаёт окружность с центром P.

1. Построй биссектрисы углов, образованных прямыми. Их точки равноудалены от прямых, поэтому все возможные положения X находятся на этих биссектрисах.
2. С центром в P построй окружность радиуса r. Она содержит все точки, удалённые от P на заданное расстояние.
3. Отметь все пересечения окружности с биссектрисами. Каждая такая точка удовлетворяет обоим условиям, а значит, может быть решением.

Ответ: подходят все точки пересечения построенной окружности с биссектрисами. Их число зависит от расположения окружности; каждую точку нужно проверить по обоим условиям. Если пересечений нет, при данных исходных объектах решения нет.

Типичные ошибки

Искомую точку иногда строят только по одному условию и забывают про второе. Так происходит, когда сначала замечают, например, заданное расстояние, а остальные требования откладывают. Проверь себя: выпиши условия по отдельности и убедись, что построенные множества отвечают каждому из них.

Другая ошибка — неверно выбрать геометрическое место, например, построить окружность вместо серединного перпендикуляра для точек, равноудалённых от двух точек. Причина обычно в том, что слова условия не связывают с известным свойством. Перед построением проговори: какое именно расстояние или равенство задаёт условие?

Можно рассмотреть только одно из нескольких пересечений и потерять возможное решение. Такое случается, если ученик считает первую найденную точку единственной. Проверь всю фигуру и отметь каждую общую точку построенных мест, а затем проверь каждую отдельно.

Наконец, найденное пересечение иногда принимают за ответ без проверки. Оно может удовлетворять выделенному условию, но не подходить по другим требованиям задачи. Для самопроверки подставь найденную точку в каждое условие и отдельно убедись, что любое возможное решение было бы среди построенных пересечений.

Связь с другими темами

Для работы с методом нужно знать свойства окружности, серединного перпендикуляра и биссектрисы, а также параллельных и перпендикулярных прямых. Эти свойства помогают определить, какое множество задаёт каждое условие задачи. Само построение выполняют циркулем и линейкой, опираясь на уже знакомые приёмы. Позже метод пригодится в более сложных задачах на построение и при доказательстве существования решений.

Что запомнить

• Геометрическое место точек объединяет все точки с одним заданным свойством.
• В задаче на построение выделяют условия, которым должна удовлетворять искомая точка.
• Каждому условию ставят в соответствие своё геометрическое место.
• Искомые точки находятся в пересечении построенных геометрических мест.
• После построения необходимо доказать выполнение всех условий задачи.
• Количество решений определяется количеством подходящих точек пересечения.
• Метод позволяет свести задачу на построение к нескольким известным построениям.