"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Метод геометрических мест точек помогает выполнять построения по нескольким условиям. Каждое условие переводят в свойство искомой точки и изображают множество всех точек с этим свойством. Искомая точка должна принадлежать каждому такому множеству, поэтому её находят среди точек пересечения геометрических мест. Чаще всего используют окружности и серединный перпендикуляр, а затем проверяют все полученные варианты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих заданным свойством. Например, можно объединить все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от одной точки. Такое описание помогает заменить словесное условие задачи на ясную геометрическую фигуру.
Метод геометрических мест точек — способ построения искомой точки как пересечения двух или нескольких геометрических мест. Каждое условие изображают отдельно, а затем ищут общие точки полученных фигур. Поэтому метод особенно удобен, когда точка должна одновременно обладать несколькими свойствами.
Окружность как геометрическое место точек — множество точек, удалённых от данной точки на одно и то же расстояние. Данная точка называется центром, а постоянное расстояние — радиусом. Значит, условие «CA = 4 см» задаёт окружность с центром A и радиусом 4 см.
Серединный перпендикуляр — геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек. Для отрезка AB это прямая, проходящая через его середину перпендикулярно AB. Она позволяет построить точку, для которой расстояния до A и B равны.
Сначала условие задачи переводят в свойство искомой точки. Например, если требуется, чтобы расстояние от точки C до A было равно 4 см, то C должна находиться среди всех точек, удалённых от A на 4 см. Это множество изображается окружностью, поэтому словесное условие превращается в конкретное построение.
Если условий несколько, каждому из них соответствует своё геометрическое место. Искомая точка должна принадлежать каждому из них, потому что иначе хотя бы одно условие окажется нарушенным. Поэтому строят все нужные фигуры, а не выбирают точку только на первой из них.
Пересечение двух геометрических мест даёт точки, которые одновременно обладают двумя нужными свойствами. Если пересечений несколько, сначала рассматривают все варианты. Затем из них оставляют только те точки, которые подходят по дополнительным ограничениям задачи.
После построения нужно выполнить проверку. Для найденной точки мысленно или измерением убеждаются, что соблюдены все заданные расстояния, равенства и принадлежности. Проверка нужна потому, что случайная точка пересечения может не соответствовать условию, которое не было изображено отдельной фигурой.
Количество решений зависит от числа подходящих пересечений. Окружности могут иметь две общие точки, одну общую точку или не иметь общих точек. Нельзя заранее выбирать только верхнее или только нижнее пересечение: нужно учесть оба варианта и проверить, не запрещены ли они условием.
В таблице показано, как распространённое условие переводится в геометрическое место. Сначала найдите в левом столбце смысл условия, затем выберите соответствующую фигуру и выполните указанное построение. После этого эту фигуру можно пересечь с другими геометрическими местами.
| Условие на точку | Геометрическое место | Как построить |
|---|---|---|
| Точка находится на заданном расстоянии от данной точки | Окружность с центром в данной точке | Построить окружность с заданным радиусом |
Требуется построить точку C, для которой CA = 4 см и CB = 3 см, если точки A и B заданы. Первое условие означает, что C лежит на окружности с центром A, а второе задаёт окружность с центром B. Значит, искомая точка должна быть общей для этих двух окружностей.
Ответ: точка C — любая подходящая точка пересечения окружностей; обычно возможны два варианта.
Нужно построить точку C, равноудалённую от A и B и находящуюся на расстоянии 3 см от A. Равенство CA = CB задаёт серединный перпендикуляр к AB, а условие CA = 3 см задаёт окружность с центром A. Искомые точки должны принадлежать обеим фигурам.
Ответ: полученные точки являются искомыми, если пересечения существуют; их может быть две, одна или ни одной.
Даны сторона AB, стороны AC и BC и медиана CM; требуется построить треугольник ABC. Условия AC и BC задают окружности с центрами A и B, а медиана означает, что C находится на расстоянии CM от середины отрезка AB. Поэтому нужно совместить три геометрических места.
Ответ: вершина C определяется общими точками трёх построенных геометрических мест; симметричные варианты учитываются отдельно.
Строят только одно геометрическое место. Любая точка окружности ещё не обязательно удовлетворяет остальным условиям. Проверьте точку по каждому условию задачи, а не только по одному расстоянию.
Неверно выбирают геометрическое место. Равенство расстояний до двух точек задаёт серединный перпендикуляр, а не окружность. Убедитесь, что прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
Не рассматривают оба пересечения. Две окружности часто дают два симметричных варианта, и нельзя без причины оставлять один. Проверьте каждую точку и учтите ограничения задачи.
Не проверяют существование решения. Геометрические места могут не пересекаться или дать точку, не подходящую по дополнительному условию. Перед ответом проверьте наличие пересечений и соответствие всех найденных точек условию.
Для применения метода нужно уметь пользоваться циркулем и линейкой, строить окружности и серединный перпендикуляр. Также понадобятся свойства окружности и правила нахождения пересечений прямых и окружностей.
Метод пригодится при построении треугольников и других фигур по заданным расстояниям, углам и дополнительным условиям. Он учит переводить текст задачи в последовательность геометрических построений.
Почему искомую точку нужно искать именно на пересечении геометрических мест?
Каждое геометрическое место задаёт одно условие задачи. Искомая точка должна удовлетворять всем условиям сразу, поэтому она должна принадлежать всем соответствующим множествам, то есть находиться на их пересечении.
Что делать, если геометрические места не пересекаются?
Это означает, что точки, удовлетворяющей всем условиям, нет. Нужно проверить правильность построения и исходные данные, а затем сделать вывод: задача не имеет решения.
Почему у задачи иногда получается два решения?
Два геометрических места могут пересекаться в двух точках. Если обе точки удовлетворяют всем дополнительным ограничениям, обе считаются решениями.
Как понять, какое геометрическое место соответствует условию задачи?
Нужно определить, каким свойством должна обладать искомая точка. Например, постоянное расстояние от данной точки задаёт окружность, а равенство расстояний до двух точек — серединный перпендикуляр.
Нужно ли проверять построение после получения точки пересечения?
Да, проверка обязательна. Она помогает убедиться, что точка удовлетворяет не только двум основным условиям, но и ограничениям задачи, например принадлежности определённой стороне или области.
5.4 Метод геометрических мест точек в задачах на построение
