"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек, обладающих определённым свойством, и только из них. Например, окружность объединяет точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, а серединный перпендикуляр — точки, равноудалённые от концов отрезка. Понятие помогает строить фигуры по условию, находить точки, удовлетворяющие сразу нескольким требованиям, и обосновывать решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только таких точек. Слово «место» означает не одну точку, а целую фигуру или её часть. Это определение нужно, чтобы точно описывать фигуры через свойства их точек.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, удалённых от данной точки на одно и то же расстояние. Данную точку называют центром, а расстояние от неё до любой точки окружности — радиусом r. Поэтому окружность можно задать центром O и радиусом: все её точки удовлетворяют условию OP = r.
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Она является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка. Это свойство позволяет строить такую прямую и находить на ней все подходящие точки.
Биссектриса угла — геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от его сторон. Биссектриса делит угол на два равных угла, а расстояния до обеих сторон у каждой её точки одинаковы. Поэтому по условию о равных расстояниях часто сразу узнают биссектрису.
Чтобы доказать, что фигура является геометрическим местом точек, нужно проверить два направления. Сначала показывают, что любая точка этой фигуры обладает заданным свойством. Затем доказывают обратное: любая точка с таким свойством обязательно лежит на фигуре, иначе найденное множество было бы неполным.
Окружность появляется потому, что расстояние от её центра до каждой точки одинаково и равно радиусу r. Если точка P удовлетворяет условию OP = r, её можно отметить на луче из O на расстоянии r; все такие положения образуют окружность. Центр указывает, от какой точки измеряют расстояние, а радиус задаёт размер окружности: при большем r она расширяется.
Рассмотрим точку P на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Пусть M — середина AB, тогда AM = MB, а PM перпендикулярна AB, поэтому углы AMP и BMP прямые. Треугольники AMP и BMP равны по двум катетам, значит, их гипотенузы равны: PA = PB.
Верно и обратное утверждение. Если точка P такова, что PA = PB, то треугольники APМ и BPМ имеют общую сторону PM, равные стороны PA и PB, а AM = MB; из равенства треугольников следует, что углы AMP и BMP равны. Эти углы смежные и равны, значит, оба прямые, а P лежит на прямой через M, перпендикулярной AB.
У биссектрисы действует похожая идея: точка внутри угла равноудалена от его сторон тогда и только тогда, когда лежит на биссектрисе. Расстояния здесь измеряют не до концов сторон и не вдоль них, а по перпендикулярам к прямым, содержащим стороны. Равенство получившихся прямоугольных треугольников объясняет, почему биссектриса делит угол пополам.
| Геометрическое место точек | Заданное свойство точки | Фигура |
|---|---|---|
| Точки на расстоянии r от данной точки | Точки удалены от центра на одно и то же расстояние r | Окружность |
| Точки, равноудалённые от концов отрезка | Расстояния до концов A и B равны | Серединный перпендикуляр к AB |
| Точки внутри угла, равноудалённые от его сторон | Перпендикулярные расстояния до сторон равны | Биссектриса угла |
Пользуйтесь таблицей как «переводчиком» условия задачи в геометрическую фигуру. Сначала найдите ключевое свойство точки, затем выберите соответствующее геометрическое место. Если условий несколько, нужно построить несколько фигур и найти их общие точки.
Условие: построить геометрическое место точек, удалённых от точки O на 3 см. Здесь задано одинаковое расстояние до одной точки, значит, искомая фигура должна быть окружностью. Её центр — O, а радиус равен 3 см.
Ответ: окружность с центром O и радиусом 3 см. Все её точки удовлетворяют условию, и других точек на плоскости с таким свойством нет.
Условие: построить геометрическое место точек, для которых расстояния до A и B равны. По свойству ГМТ это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Его можно построить без измерения середины отрезка.
Ответ: серединный перпендикуляр к AB. Равенство расстояний для его точек доказывается равенством треугольников, а обратное свойство показывает, что построенная прямая содержит все подходящие точки.
Условие: найти точку, равноудалённую от сторон данного угла и от концов отрезка. Первое требование задаёт биссектрису угла, второе — серединный перпендикуляр к отрезку. Искомая точка должна принадлежать обеим фигурам одновременно.
Ответ: точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра, если она существует внутри угла. Если линии не пересекаются в нужной области, подходящей точки нет.
Несколько точек вместо всего множества. Иногда отмечают две или три подходящие точки и считают задачу законченной. Так можно увидеть часть фигуры, но нельзя доказать, что найдены все решения. Проверьте, какая известная фигура объединяет все такие точки.
Только одно направление доказательства. Ученик показывает, что точки построенной фигуры подходят, но не доказывает обратное. Тогда могут остаться подходящие точки вне фигуры. Всегда отдельно спросите себя: «Почему любая точка с данным свойством обязана лежать именно здесь?»
Неверный серединный перпендикуляр. Прямая через середину отрезка не является серединным перпендикуляром, если она не перпендикулярна отрезку. Проверьте оба признака: прохождение через середину и угол 90° с отрезком.
Неправильное расстояние до стороны угла. Расстояние измеряют не вдоль стороны и не от точки до вершины, а по перпендикуляру к прямой, содержащей сторону. Из каждой точки к обеим сторонам должны быть проведены перпендикуляры, и их длины сравнивают.
Для этой темы нужны определения окружности и радиуса, умение находить середину отрезка, знать перпендикулярные прямые и биссектрису угла. Без этих понятий трудно распознать фигуру по условию задачи и выполнить построение.
Геометрические места точек помогают решать задачи на построение. Каждое отдельное условие превращают в фигуру, а затем находят пересечение полученных фигур.
Свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы пригодятся при изучении треугольников и их замечательных линий. Например, они помогают находить центры окружностей и точки, связанные с равенством расстояний.
Что означает выражение «геометрическое место точек»?
Это множество всех точек, которые обладают заданным свойством, и только таких точек. Например, окружность состоит из точек, удалённых от центра на одно и то же расстояние.
Почему для описания геометрического места нужно проверить все точки, а не только некоторые?
Несколько подходящих точек ещё не образуют всё геометрическое место. Нужно доказать два утверждения: каждая точка фигуры имеет нужное свойство и любая точка с этим свойством лежит на фигуре.
Как построить множество точек, равноудалённых от концов отрезка?
Нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку циркулем и линейкой. Любая его точка равноудалена от концов отрезка, и других подходящих точек нет.
Чем расстояние от точки до стороны угла отличается от расстояния до вершины?
Расстояние до стороны — это длина перпендикуляра от точки к прямой, содержащей эту сторону. Расстояние до вершины — длина отрезка, соединяющего точку с вершиной, и это обычно другая величина.
Как использовать геометрические места точек при решении задачи на построение?
Каждое условие заменяют соответствующим геометрическим местом точек. Затем строят эти фигуры, а их общие точки принимают за искомые.
5.1 Геометрическое место точек
